Aufgabe zu Untergruppen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:14 Fr 05.11.2010 | | Autor: | Freaky |
| Aufgabe | Sei G eine Gruppe und U eine nicht leere Teilmenge. Zu zeigen: (i) <=> (ii)
(i)U ist eine Untergruppe von G
(ii)a*b^-1 ist Element von U für alle a,b aus U |
(i) = > (ii) ist trivial.
Für (ii) => (i) habe ich zunächst a=b gesetzt, d.h. e ist Element von U, da a*a^-1=e und b*b^-1=e. Somit sind a, b, e aus U.
Dann habe ich a=e gesetzt, d.h. e*b^-1=b^-1 ist Element von U.
Schließlich habe ich gesagt, dass ich a und b vertauschen kann und somit auch b*a^-1 Element von U ist, was mit b=e e*a^-1=a^-1 ergibt und somit sind a, b, a^-1, b^-1 und e Element von U und U ist eine Gruppe. (Assoziativität gilt, da G eine Gruppe ist, in der Assoziativität gilt.)
Ist das so erlaubt?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo Freaky und erstmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Sei G eine Gruppe und U eine nicht leere Teilmenge. Zu
> zeigen: (i) <=> (ii)
> (i)U ist eine Untergruppe von G
> (ii)a*b^-1 ist Element von U für alle a,b aus U
> (i) = > (ii) ist trivial.
> Für (ii) => (i) habe ich zunächst a=b gesetzt, d.h. e ist
> Element von U, da a*a^-1=e und b*b^-1=e. Somit sind a, b, e
> aus U.
Ja, denn nach Vor. ist [mm]U\neq\emptyset[/mm], daher existiert überhaupt ein [mm]a\in U[/mm], damit dann nach deiner Argumentation mit (ii) dann [mm]e\in U[/mm]
> Dann habe ich a=e gesetzt, d.h. e*b^-1=b^-1 ist Element von
> U.
> Schließlich habe ich gesagt, dass ich a und b vertauschen
> kann und somit auch b*a^-1 Element von U ist, was mit b=e
> e*a^-1=a^-1 ergibt und somit sind a, b, a^-1, b^-1 und e
> Element von U
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> und U ist eine Gruppe. (Assoziativität gilt,
> da G eine Gruppe ist, in der Assoziativität gilt.)
> Ist das so erlaubt?
Wie habt ihr [mm]U[/mm] Untergruppe von Gruppe [mm]G[/mm] def.?
(1) [mm]e\in U[/mm] --> das ist gezeigt
(2) [mm]a\in U\Rightarrow a^{-1}\in U[/mm] --> ist auch gezeigt
(3) [mm]a,b\in U\Rightarrow ab\in U[/mm]
Das fehlt noch, wenn ich das richtig sehe. Ansonsten ist alles in Ordnung!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:30 Fr 05.11.2010 | | Autor: | Freaky |
Vielen Dank für die schnelle Antwort!
Wenn ich nun in a*b^-1 für b b^-1 einsetze (ich weiß ja bereits, dass b und b^-1 aus U sind), kann ich dann durch a*(b^-1)^-1=a*b nachweisen, dass a*b Element von U ist?
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Vielen Dank für die schnelle Antwort!
> Wenn ich nun in a*b^-1 für b b^-1 einsetze (ich weiß ja
> bereits, dass b und b^-1 aus U sind), kann ich dann durch
> a*(b^-1)^-1=a*b nachweisen, dass a*b Element von U ist?
Ja, genauso ist es!
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Hallo alle Zusammen,
Ich bin seit 2 Wochen Mathestudent und habe die gleiche Frage wie Freaky (die jetzt ja schon beantwortet wurde).
Trotzdem meine Frage:
Freaky schrieb "(i) = > (ii) ist trivial.".
Da das für mich erstmal nicht so trivial ist (erscheint?), bitte ich um eine Antwort, ob die Lösung, die ich mir ausgedacht habe, richtig ist.:
U ist Untergruppe von G [mm] \Rightarrow [/mm] a * [mm] b^{-1} \in [/mm] U, [mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in [/mm] U
Da U [mm] \not= \emptyset [/mm] gibts es ein u [mm] \in [/mm] U mit e*u = u.
Es gibt a,b [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow a*a^{-1} [/mm] = e, [mm] b*b^{-1} [/mm] = e [mm] \Rightarrow a^{-1}, b^{-1} \in [/mm] U.
[mm] \Rightarrow a*b^{-1} \in [/mm] U q.e.d.
|
|
|
|
