Aufgabe zu Stetig- u. Diff'bar < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Geben sie eine Funktion auf dem Intervall [0,1] an, die an genau 2 Stellen stetig und an genau einer Stelle differenzierbar ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich habe oben stehende Aufgabe bekommen und komme da nicht wirklich weiter. Mein erster Ansatz war die dirichlet'sche Sprungfunktion. Allerdings passt das alles noch nicht ganz zusammen.
Wähle ich als Funktion z.B. die Dirichletfunktion multipliziert mit f(x)=x², dann wäre der linke Randpunkt stetig und differenzierbar, würde ich die Dirichletfunktion mit f(x)=x multiplizieren wäre er stetig aber nicht differenzierbar.
Sehe ich das soweit richtig oder habe ich da was komplett verhaun?
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> Hallo,
> ich habe oben stehende Aufgabe bekommen und komme da nicht
> wirklich weiter. Mein erster Ansatz war die dirichlet'sche
> Sprungfunktion. Allerdings passt das alles noch nicht ganz
> zusammen.
> Wähle ich als Funktion z.B. die Dirichletfunktion
> multipliziert mit f(x)=x², dann wäre der linke Randpunkt
> stetig und differenzierbar,
Ich denke, das ist richtig.
> würde ich die Dirichletfunktion
> mit f(x)=x multiplizieren wäre er stetig aber nicht
> differenzierbar.
Ja.
> Sehe ich das soweit richtig oder habe ich da was komplett
> verhaun?
Nein, ich denke, der Grundgedanke ist ok. Nur musst Du eben mit Deiner Modifikation der Dirichletfunktion die genauen Bedingungen der Aufgabenstellung (an genau einer Stelle diff'bar und an genau zwei Stellen stetig) gleichzeitig erfüllen: Du könntest also die Dirichletfunktion mit einer Funktion multiplizieren, die bei $x=0$ eine Nullstelle zweiter und in $x=1$ eine Nullstelle erster Ordnung hat. Diese Funktion müsste dann nur in den beiden Endpunkten des Intervalls $[0;1]$ stetig und im linken sogar diff'bar sein, wie Du ja selbst bereits überlegt hast.
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Ah super, hab das nun verstanden glaub ich. Nur eine Frage hätte ich noch: Wie kommt man von der Ordnung der Nullstellen auf die Steigung der Funktion im jeweiligen Punkt? Es scheint ja immer so zu sein, dass Polynome in Nullstellen der Ordnung 2 die Steigung 0 haben und in Nullstellen der Ordnung 1 eine Steigung ungleich 0. Gibt es dazu einen allgemeinen Satz bzw. wie kommt man da drauf?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:02 Fr 12.10.2007 | | Autor: | Dablack |
Also das mag jetzt vielleicht nicht 100% mathematisch präzise sein...
Seien [mm] x_{0} [/mm] und [mm] x_{1} [/mm] Nullstellen zweiter bzw. erster Ordnung.
f = (x - [mm] x_{0})
[/mm]
g = (x - [mm] x_{1})
[/mm]
y = f² * g
y' = (f² * g)' = 2*f*g + f²*1
Setzt man in diese Formel [mm] x_{0} [/mm] ein so werden beide Summanden 0. Setzt man [mm] x_{1} [/mm] ein wird der rechte 0 aber der linke ist ungleich 0, weil per Definition [mm] x_{0} \not= x_{1}.
[/mm]
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