Aufgabe über Gleichungssystem < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
1. Aufgabe sieht so aus:
Man benutze das Gaußsche Eliminationsverfahren, um das folgende Gleichungssystem über F5 zu lösen.
x + y - z + 2w = 0
3y - z + 3w = 0
2x - y - z + w = 0
Ich habe diese Aufgabe bis folgenden Schritt gemacht:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 4 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 4 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 } \in [/mm] F5
aber dann weiß ich nicht , wie man das Gleichungssystem weiter lösen kann. es gibt jetzt zwei Gleichungen, aber mit 4 Unbekannten.
eine Idee: kann man einfach nur die Beziehung von Unbekannten als Lösung machen? aber ich finde diese Idee sehr komisch.
2. Aufgabe.
Man gebe jeweils eine Bedinung an die reellen Zhalen a, b und c an, die äquivalent zur Lösbarkeit des jeweiligen Gleichungssystem über [mm] \IR [/mm] ist. Anschließend bestimme man alle Lösung des Gleichungssystems (unter der angegebenen Bedingung.)
x + y + z + w = a
5y + 2z + 4w= b
3x - 2y + z - w = c
Ich habe diese Aufgabe bis folgenden Schritt gemacht:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 & a \\ 0 & 5 & 2 & 4 & b \\ 0 & 0 & 0 & 0 & c + b - 3a } [/mm]
Das Gleichungssystem ist lösbar wenn c+b-3a =0 ist.
und dann habe ich wieder das Problem fast wie die letzte Aufgabe. Wir haben jetzt nur zwei Gleichungen aber mit 4 Unbekannten.
Ich habe keine Ahnung wie man solches Gleichungssystem die Lösung stimmen kann.
danke euch voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo!
Du scheinst also nur ein Problem mit den Gleichungssystemen zu haben, wenn du mehr Unbekannte als Gleichungen hast? Dann kann ich dir hier mal ein bisschen was erzählen:
Es gibt im Prinzip drei Möglichkeiten linearer Gleichungssysteme:
1. genauso viele Gleichungen wie Unbekannte [mm] \equiv [/mm] das Gleichungssystem ist eindeutig lösbar
2. mehr Gleichungen als Unbekannte, ein sogenanntes überbestimmtes Gleichungssystem [mm] \equiv [/mm] das Gls. hat eine oder keine Lösung
3. mehr Unbekannte als Gleichungen, ein sogenanntes unterbestimmtes Gls. [mm] \equiv [/mm] das Gls. hat unendlich viele Lösungen
Das lernt man eigentlich in der Schule, aber du hast es im Prinzip richtig beantwortet, man gibt die Abhängigkeiten von einer Variablen als Lösung an. Wenn man dann eine spezielle Lösung haben möchte, wählt man sich eine (oder in deinem Fall wohl mehrere) Variable, und daraus kann man dann die anderen berechnen.
Ich frage mich allerdings noch, warum bei der ersten Aufgabe über [mm] \IF_5 [/mm] gerechnet werden soll?
Vielleicht hilft dir das ja etwas
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:29 Fr 05.11.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo chinababy
irgendwie kommt mir diese Aufgabe doch bekannt vor.
Schau doch ienmal ein diesen Strang, der ja ohnehin viel zu wenig Beachtung fand:
https://matheraum.de/read?i=22959
Mit lieben Grüssen
Paul
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:35 Sa 06.11.2004 | | Autor: | chinababy |
danke Bastiane und Paul für eure Erklärung, jetzt ist es schon alles klar.
und zu Bastiane: Wenn man ein Gleichungssystem über F5 lösen möchte, hat man zwei Möglichkeiten. Eine ist: Man löst das Gleichungssystem in Q und dann formt die Lösung in F5 um. Zweitens: Man macht sogar Matrizen schon in F5, dann bekommt man natürlich auch die Lösung in F5.
PS: F 5 = {0,1,2,3,4}
lieber Grüßer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:32 Sa 06.11.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo chinababy!
> und zu Bastiane: Wenn man ein Gleichungssystem über F5
> lösen möchte, hat man zwei Möglichkeiten. Eine ist: Man
> löst das Gleichungssystem in Q und dann formt die Lösung in
> F5 um. Zweitens: Man macht sogar Matrizen schon in F5, dann
> bekommt man natürlich auch die Lösung in F5.
Ja, das erste ist mir schon klar - nur bei deinem Gleichungssystem kommt doch da das Gleiche raus, egal, ob ich es in F5 oder in [mm] \IQ [/mm] löse, oder habe ich da jetzt wieder was verwechselt?
Und das mit den Matrizen: Natürlich kann ich das Gleichungssystem als Matrix schreiben, dann habe ich aber doch genau das Gleiche da stehen, nur nicht so viel Schreibarbeit, weil ich die ganze [mm] x_i [/mm] s weglassen kann. Und was hat das mit dem Lösen über F5 zu tun?
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
>
> PS: F 5 = {0,1,2,3,4}
>
> lieber Grüßer
>
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:21 Sa 06.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
In diesem Fall ist es egal, ob man das Gleichungssystem zuerst über [mm] $\IQ$ [/mm] löst und dann anschließend modulo $5$ rechnet oder ob man direkt in [mm] $\IF_5$ [/mm] rechnet. Das muss aber nicht immer so sein. Sobald man beim Gauß-Algorithmus in [mm] $\IQ$ [/mm] durch $5$ teilt und dann später modulo $5$ rechnet, stimmen die Lösungsmengen nicht mehr überein! (Weil ich dann in [mm] $\IF_5$ [/mm] durch $0$ geteilt hätte!)
Also: Besser direkt in [mm] $\IF_5$ [/mm] rechnen!! 
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:24 Sa 06.11.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Stefan!
> In diesem Fall ist es egal, ob man das Gleichungssystem
> zuerst über [mm]\IQ[/mm] löst und dann anschließend modulo [mm]5[/mm] rechnet
> oder ob man direkt in [mm]\IF_5[/mm] rechnet. Das muss aber nicht
> immer so sein. Sobald man beim Gauß-Algorithmus in [mm]\IQ[/mm]
> durch [mm]5[/mm] teilt und dann später modulo [mm]5[/mm] rechnet, stimmen die
> Lösungsmengen nicht mehr überein! (Weil ich dann in [mm]\IF_5[/mm]
> durch [mm]0[/mm] geteilt hätte!)
Das war zwar nicht ganz meine Frage, hängt aber damit zusammen. Eben weil es in diesem Fall egal war, hatte es mich gewundert, dass es überhaupt da stand (es war doch nur egal, weil eh nur Zahlen <5 vorkamen, oder?). Ich hätte intuitiv bei einer solchen Aufgabe auch direkt modulo 5 gerechnet, wäre somit also auf das richtige Ergebnis gekommen.
Aber jetzt weiß ich ja dank dir Bescheid, und werde so einen Fehler wohl nicht machen, falls wir jemals so eine Aufgabe bekommen werden.
Viele Grüße
Christiane
|
|
|
|
