Aufgabe für das Sommerloch < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:46 Do 09.08.2012 | | Autor: | fred97 |
| Aufgabe | Der folgende Satz ist Folklore:
SATZ: Ist K eine kompakte Teilmenge des [mm] \IR^n [/mm] und $f:K [mm] \to \IR$ [/mm] stetig, so ist f auf K beschränkt.
Interessant ist , dass auch die Umkehrung gilt:
AUFGABE: Ist K eine nichtleere Teilmenge des [mm] \IR^n [/mm] und ist jede auf K definierte, stetige und reellwertige Funktion auf K beschränkt, so ist K kompakt. |
Wie immer wäre es nett, wenn sich jemand aus dem Kreis der Moderatoren finden würde, der (die) die Aufgabe in entsprechender Weise kennzeichnet.
Gruß FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:15 Do 09.08.2012 | | Autor: | fred97 |
Dummyfrage
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:24 Do 09.08.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Der folgende Satz ist Folklore:
>
> SATZ: Ist K eine kompakte Teilmenge des [mm]\IR^n[/mm] und [mm]f:K \to \IR[/mm]
> stetig, so ist f auf K beschränkt.
>
> Interessant ist , dass auch die Umkehrung gilt:
>
> AUFGABE: Ist K eine nichtleere Teilmenge des [mm]\IR^n[/mm] und ist
> jede auf K definierte, stetige und reellwertige Funktion
> auf K beschränkt, so ist K kompakt.
Mit dem Satz von Heine-Borel sollte das ja nicht allzu schwer sein...
Interessant finde ich folgendes: welche Anfordernungen muss man an einen topologischen Raum $X$ stellen, so dass fuer jede Teilmenge $K [mm] \subseteq [/mm] X$ gilt:
(*) $K$ ist (ueberdeckungs-)kompakt [mm] $\Leftrightarrow$ [/mm] jede stetige Funktion $f : K [mm] \to \IR$ [/mm] ist beschraenkt.
Die Implikation [mm] "$\Rightarrow$" [/mm] ist einfach, da das Bild einer stetigen Funktion unter einer kompakten Menge immer kompakt ist.
Bei metrischen Raeumen, die den Satz von Heine-Borel erfuellen, gilt die Aussage Rueckrichtung, man kann es genauso wie fuer [mm] $\IR^n$ [/mm] beweisen. Aber wie sieht es mit allgemeineren topologischen Raeumen aus? Weiss da jemand etwas?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:58 Fr 10.08.2012 | | Autor: | fred97 |
> Moin!
>
> > Der folgende Satz ist Folklore:
> >
> > SATZ: Ist K eine kompakte Teilmenge des [mm]\IR^n[/mm] und [mm]f:K \to \IR[/mm]
> > stetig, so ist f auf K beschränkt.
> >
> > Interessant ist , dass auch die Umkehrung gilt:
> >
> > AUFGABE: Ist K eine nichtleere Teilmenge des [mm]\IR^n[/mm] und ist
> > jede auf K definierte, stetige und reellwertige Funktion
> > auf K beschränkt, so ist K kompakt.
>
> Mit dem Satz von Heine-Borel sollte das ja nicht allzu
> schwer sein...
>
> Interessant finde ich folgendes: welche Anfordernungen muss
> man an einen topologischen Raum [mm]X[/mm] stellen, so dass fuer
> jede Teilmenge [mm]K \subseteq X[/mm] gilt:
>
> (*) [mm]K[/mm] ist (ueberdeckungs-)kompakt [mm]\Leftrightarrow[/mm] jede
> stetige Funktion [mm]f : K \to \IR[/mm] ist beschraenkt.
>
> Die Implikation "[mm]\Rightarrow[/mm]" ist einfach, da das Bild
> einer stetigen Funktion unter einer kompakten Menge immer
> kompakt ist.
>
> Bei metrischen Raeumen, die den Satz von Heine-Borel
> erfuellen, gilt die Aussage Rueckrichtung, man kann es
> genauso wie fuer [mm]\IR^n[/mm] beweisen. Aber wie sieht es mit
> allgemeineren topologischen Raeumen aus? Weiss da jemand
> etwas?
Hallo Felix,
ja, das ist eine interessante Frage. Wie so häufig hat sie mir keine Ruhe gegeben und ich bin zu folgendem gekommen:
SATZ: Ist (M,d) ein metrischer Raum und K eine nichtleere Teilmenge von M mit der Eigenschaft: jede stetige Funktion $ f : K [mm] \to \IR [/mm] $ ist beschränkt. Dann ist K kompakt.
Beweis:
K muß abgeschlossen sein, denn wäre das nicht der Fall, so gäbe es ein [mm] x_0 \in \overline{K} [/mm] mit [mm] x_0 \notin [/mm] K. Setze dann
[mm] f(x):=d(x,x_0)^{-1} [/mm] für x [mm] \in [/mm] K.
Dann ist f auf K stetig, aber unbeschränkt, Widerspruch.
K ist also abgeschlossen. Wir nehmen an, K wäre nicht kompakt. Da in metr. Räumen kompakt= folgenkompakt ist, existiert in K eine Folge [mm] (x_n), [/mm] die keine konvergente Teilfolge enthält.
Sei [mm] $W:=\{x_n: n \in \IN\}$ [/mm] die Wertemenge dieser Folge. W ist abgeschlossen !
Auf W definieren wir folgende Abbildung $g:W [mm] \to \IR$:
[/mm]
[mm] $g(x_n):=n$.
[/mm]
Fassen wir nun K als metrischen Raum auf, so ist W eine abgeschlossene Teilmenge von K und g ist stetig auf W.
Jetzt kommt ein mächtiges Geschütz: nach dem Fortsetzungssatz von Tietze gibt eine eine stetige Funktion $f:K [mm] \to \IR$ [/mm] mit [mm] g=f_{|W}.
[/mm]
f ist aber auf K nicht beschränkt. Das ist ein Widerspruch, somit muß K doch kompakt sein. q.e.d.
Es wäre schön, wenn sich Mitglieder dieses Forum finden ließen, die den obigen Beweis kritisch überprüfen (Felix, wie wärs ?)
Bleibt noch die Frage: wie sieht das ganz in allgemeinen topologischen Räumen aus ?
Gruß FRED
>
> LG Felix
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:09 So 12.08.2012 | | Autor: | felixf |
Moin Fred!
Sorry das ich erst jetzt antworte, bin momentan etwas beschaeftigt...
> ja, das ist eine interessante Frage. Wie so häufig hat sie
> mir keine Ruhe gegeben und ich bin zu folgendem gekommen:
>
> SATZ: Ist (M,d) ein metrischer Raum und K eine nichtleere
> Teilmenge von M mit der Eigenschaft: jede stetige Funktion
> [mm]f : K \to \IR[/mm] ist beschränkt. Dann ist K kompakt.
Das ist ja ein schoenes Ergebnis! Danke :)
> Beweis:
>
> K muß abgeschlossen sein, denn wäre das nicht der Fall,
> so gäbe es ein [mm]x_0 \in \overline{K}[/mm] mit [mm]x_0 \notin[/mm] K.
> Setze dann
>
> [mm]f(x):=d(x,x_0)^{-1}[/mm] für x [mm]\in[/mm] K.
>
> Dann ist f auf K stetig, aber unbeschränkt, Widerspruch.
>
> K ist also abgeschlossen. Wir nehmen an, K wäre nicht
> kompakt. Da in metr. Räumen kompakt= folgenkompakt ist,
> existiert in K eine Folge [mm](x_n),[/mm] die keine konvergente
> Teilfolge enthält.
>
> Sei [mm]W:=\{x_n: n \in \IN\}[/mm] die Wertemenge dieser Folge. W
> ist abgeschlossen !
>
> Auf W definieren wir folgende Abbildung [mm]g:W \to \IR[/mm]:
>
> [mm]g(x_n):=n[/mm].
>
> Fassen wir nun K als metrischen Raum auf, so ist W eine
> abgeschlossene Teilmenge von K und g ist stetig auf W.
>
> Jetzt kommt ein mächtiges Geschütz: nach dem
> Fortsetzungssatz von Tietze gibt eine eine stetige Funktion
> [mm]f:K \to \IR[/mm] mit [mm]g=f_{|W}.[/mm]
Den kannte ich noch nicht. ![[]](/images/popup.gif) Hier die Aussage, fuer alle anderen, die ihn ebenfalls nicht kennen. Da jeder metrische Raum normal ist, kann man den Satz hier anwenden.
> f ist aber auf K nicht beschränkt. Das ist ein
> Widerspruch, somit muß K doch kompakt sein. q.e.d.
>
>
> Es wäre schön, wenn sich Mitglieder dieses Forum finden
> ließen, die den obigen Beweis kritisch überprüfen
> (Felix, wie wärs ?)
Ich kann kein Problem entdecken. Insofern denke ich, er ist korrekt!
> Bleibt noch die Frage: wie sieht das ganz in allgemeinen
> topologischen Räumen aus ?
Hmm. In allgemeinen Raeumen muss die Menge nicht abgeschlossen sein (einfach eine Einpunktmenge nehmen); dies kann auch bei normalen Raeumen vorkommen (etwa die groebste Topologie auf einer Zweipunktmenge). Man kann den obigen Beweis also nicht einfach auf beliebige normale Raeume (wo der Fortsetzungssatz von Tietze gilt) erweitern.
Aber vielleicht hat ja noch jemand eine Idee 
LG Felix
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