Aufgabe exp-Funktion < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Ein Land habe eine konstante Bevölkerungswachstumsrate, d.h. für die Bevölkerungszahl N(t) nach t Jahren gelte N(t) = N(0) exp(at) . Die Bevolkerungszahl erh ohe sich in 15 Jahren um 50 %. Bestimmen Sie a. Welches jährliche Bevölkerungswachstum hat das Land? Wie lange dauert es, bis sich die Bevolkerungszahl verdoppelt hat? |
Hallo liebe Leute, komme bei der Aufgabe einfach nicht weiter. Könnte mir jemand von euch mit dem Anfang helfen, dann kann ich es selber versuchen? Vielen Dank!
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Hallo,
löse zu Beginn die Gleichung
[mm] 1.5=e^{15a}
[/mm]
nach a auf (weshalb?).
Gruß, Diophant
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Hallo, vielen Dank für deine Hilfe! Ich habe ca. 0,027 raus.
$ 1.5 = [mm] e^{15a} [/mm] $
ln [mm] e^{15a} [/mm] = ln 1,5
15a = ln1,5
a = ln1,5 / 15 = 0,027
Stimmt das so?
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Hallo,
> [mm]1.5 = e^{15a}[/mm]
> ln [mm]e^{15a}[/mm] = ln 1,5
> 15a = ln1,5
> a = ln1,5 / 15 = 0,027
>
> Stimmt das so?
Ja, passt! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß, Diophant
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Vielen Dank! Okay, dann habe ich a jetzt bestimmt. Wie siehts es aus mit der Frage: Welches jährliche Bevölkerungswachstum hat das Land?
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Hallo,
rechne dazu mal N(1) aus und vergleiche prozentual mit N(0). Alternativ kannst du auch
[mm] e^{a*t}
[/mm]
durch Umformen per ln auf die Form [mm] q^t [/mm] bringen. q ist dann der Wachstumsfaktor und für das prozentuale Wachstum pro Jahr gilt
p=(q-1)*100%
Gruß, Diophant
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Hallo, vielen Dank für deine Hilfe! Okay, wenn ich N(1) berechnen will, kriege ich im Endeffekt die Bevölerungswachstumsrate nach 1 Jahr.
D.h. in setze in die Formel:
N(1) = N(0) exp (at)
für a den oben berechneten Wert, für t 1 (nach einem Jahr also) ein und wie sieht es mit N(0) aus? Welchen Wert habe ich da?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:34 Mi 16.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo, vielen Dank für deine Hilfe! Okay, wenn ich N(1)
> berechnen will, kriege ich im Endeffekt die
> Bevölerungswachstumsrate nach 1 Jahr.
>
> D.h. in setze in die Formel:
> N(1) = N(0) exp (at)
> für a den oben berechneten Wert, für t 1 (nach einem Jahr
> also) ein
Ja
> und wie sieht es mit N(0) aus? Welchen Wert habe
> ich da?
Dieser Wert ist nicht gegeben.
FRED
>
>
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Danke, FRED! Also habe ich dann für N(1) = N(0) . b, wo b = exp(at) ist? Was hieße dann N(1) mit N(0) prozentual vergleichen? N(1) einfach durch N(0) dividieren und mal 100 nehmen, um auf %-Zahl zu kommen? Wäre das mein jährliches Bevölkerungswachstum?
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Hallo,
> Danke, FRED! Also habe ich dann für N(1) = N(0) . b, wo b
> = exp(at) ist? Was hieße dann N(1) mit N(0) prozentual
> vergleichen? N(1) einfach durch N(0) dividieren und mal 100
> nehmen, um auf %-Zahl zu kommen? Wäre das mein jährliches
> Bevölkerungswachstum?
Fast: du musst von der so erhaltenen Zahl noch 100% abziehen, dann ist es das prozentuale Bevölkerungswachstum pro Jahr.
Es ist das Wesen jedes exponentiellen Prozesses, dass Ab- bzw. Zunahme in gleichen Zeitschritten um den gleichen Faktor geschieht.
Hast du schon einmal etwas von der sog. C14-Methode gehört? Damit bestimmt man das Alter von Funden, die bei Ausgrabungen gemacht wurden.
C14 ist ein radioaktives Isotop des Kohlenstoffes. Es entsteht durch Einwirkung ultravioletter Strahlung auf organisches Material. Man geht davon aus, dass an der Erdoberfläche der Prozentzsatz von C14 am Gesamtkohlenstoff konstant ist.
Wird nun irgendetwas, was Kohlenstoff enthält, vor der Sonne verborgen, dann entsteht kein neues C14 mehr sondern das bisher vorhandene zerfällt. Nun ist aber der radioaktive Zerfall ein exponentieller Abnahmeprozess. Im Falle von C14 ist es so, dass sich ca. alle 5730 Jahre die vorhandene Menge halbiert. Wenn man nun in einem solchen Fund den Prozentsatz von C14 am Gesamtkohlenstoff messen kann, dann kann man leicht und erstaunlich genau das Alter des Gegenstands mit Hilfe der entsprechenden Wachstumsfunktion berechnen.
Gruß, Diophant
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Vielen Dank! Und wie kann ich dann berechnen, wie lange es dauern wird, bis sich die Bevölkerungszahl verdoppelt hat?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:42 Mi 16.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank! Und wie kann ich dann berechnen, wie lange es
> dauern wird, bis sich die Bevölkerungszahl verdoppelt hat?
Bestimme t so, dass
[mm] N(0)e^{at}=2N(0)
[/mm]
ist.
FRED
>
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Okay, prima, danke!
Ich hätte eine Frage dazu, was Diophant schon angesprochen hatte.
Die Aufgabe:
Die Halbwertszeit von radioaktivem Kohlenstoff beträgt 5730 Jahre. Ein Skelett, das aus einer Torfgrube geborgen wurde, wird von Wissenschaftlern untersucht, um das Alter des Skeletts zu bestimmen. Sie messen, dass 49% des ursprunglichen Kohlenstoffs im Skelett zerfallen sind.
Wie kann man jetzt das Alter berechnen? Da muss man ja doch irgendwie die Menge des Kohlenstoffs in Abhängigkeit der Zeit angeben, oder?
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Hallo alchemist,
das ist jetzt eine neue Aufgabe, oder?
Es ist besser, Du machst für so etwas einen neuen Thread auf, es sei denn, Du beziehst Dich auf schon gegebene Antworten. Das scheint ja so zu sein.
> Die Aufgabe:
>
> Die Halbwertszeit von radioaktivem Kohlenstoff beträgt
> 5730 Jahre. Ein Skelett, das aus einer Torfgrube geborgen
> wurde, wird von Wissenschaftlern untersucht, um das Alter
> des Skeletts zu bestimmen. Sie messen, dass 49% des
> ursprunglichen Kohlenstoffs im Skelett zerfallen sind.
>
> Wie kann man jetzt das Alter berechnen? Da muss man ja doch
> irgendwie die Menge des Kohlenstoffs in Abhängigkeit der
> Zeit angeben, oder?
Klar. Zum Zeitpunkt Null sind 100% des Kohlenstoffs vorhanden (am einfachsten mit 100%=1 rechnen), nach 5730 ist nur die Hälfte übrig. Wenn die Menge des Kohlenstoffs mit der Funktion c(t) dargestellt wird und t in Jahren gemessen wird, sieht das irgendwie so aus:
[mm] c(t)=e^{-a*t}
[/mm]
und muss für t=5730 also ergeben
[mm] c(t)=e^{-a*5730}=\bruch{1}{2}
[/mm]
Grüße
reverend
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Hallo, ja, ich habe dieses Thread benutzt, da ja das Thema schonmal angesprochen wurde. Vielen Dank jedenfalls für deine Hilfe!
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