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Guten Abend! Ich sitze gerade vor einer 'Aufgabe und weiß nicht, was ich da überhaupt machen soll. Ich lese mir die Aufgabenstellung durch und wieder durch, werde daraus aber überhaupt nicht schlau..
Gegeben seien t [mm] \in \IR [/mm] und n [mm] \in \IN. [/mm] Für k=0,1,...,n setzen wir [mm] x_{k}(t) [/mm] := [mm] e^{itk/n}. [/mm] Skizzieren sie den Streckenzug durch die Punkte [mm] x_{0}(t), x_{1}(t),....., x_{n}(t) [/mm] und bestimmen Sie seine Länge [mm] L_{n}(t) [/mm] := [mm] \summe_{k=1}^{n}|x_{k}(t)-x_{k-1}(t)|. [/mm] Zeigen sie, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} L_{n} [/mm] existiert und interpretieren Sie diesen Grenzwert geometrisch. Was erhalten Sie insbesondere im Fall t = [mm] 2\pi?
[/mm]
Vielleicht hat einer eine Idee? Ich weiß gar nicht, wo ich das anpacken soll. Stehe komplett auf dem Schlauch.
Es grüßt mathejoker
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Hallo mathejoker,
> Gegeben seien t [mm]\in \IR[/mm] und n [mm]\in \IN.[/mm] Für k=0,1,...,n
> setzen wir [mm]x_{k}(t)[/mm] := [mm]e^{itk/n}.[/mm] Skizzieren sie den
> Streckenzug durch die Punkte [mm]x_{0}(t), x_{1}(t),....., x_{n}(t)[/mm]
> und bestimmen Sie seine Länge [mm]L_{n}(t)[/mm] :=
> [mm]\summe_{k=1}^{n}|x_{k}(t)-x_{k-1}(t)|.[/mm] Zeigen sie, dass
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} L_{n}[/mm] existiert und
> interpretieren Sie diesen Grenzwert geometrisch. Was
> erhalten Sie insbesondere im Fall t = [mm]2\pi?[/mm]
für [mm]t\;=\;2\;\pi[/mm] erhält man die n-ten Einheitswurzeln der reellen Zahl 1.
Gruß
MathePower
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Hmm, ok. Aber eine Frage, was ist bei [mm] e^{itk/n} [/mm] das "i"? ist das einfach nur ne komplexe Zahl oder was "gemeineres"? :)
Für n und t kann ich ja Werte annehmen. Und k läuft ja nur durch.
Ist die Länge dann einfach nur der Wert wohin diese Reihe konvergiert?
(Wenn sie konvergiert).
Ich glaube ganz ganz langsam blicke ich durch ;)
Es grüßt mathejoker
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:02 So 26.06.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mathejoker!
> Hmm, ok. Aber eine Frage, was ist bei [mm]e^{itk/n}[/mm] das "i"?
> ist das einfach nur ne komplexe Zahl oder was "gemeineres"?
Die "Zahl" i ist die sogenannte imaginäre Einheit mit $i \ := \ [mm] \wurzel{-1}$ [/mm] bzw. [mm] $i^2 [/mm] \ = \ -1$.
> Ist die Länge dann einfach nur der Wert wohin diese Reihe
> konvergiert?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Genau ...
Gruß
Loddar
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Guten Morgen!
noch eine Frage. Wenn n gegen unendlich geht, dann geht der Exponent ja gegen [mm] \bruch{1}{\infty}
[/mm]
Das heißt der Wert geht gegen 1 = [mm] e^{0}
[/mm]
Dann würde ich ja 1-1 rechnen und hätte keine länge?
Also existiert kein Grenzwert.
Wie zeichnet man denn die imaginäre Einheit in ein Koordinatensystem?
Es grüßt mathejoker
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Guten Morgen mathejoker,
versuch dir erstmal [mm] |x_{k}(t)-x_{k-1}(t)| [/mm] anschaulich vorzustellen, sagen wir mal für n = 6, dann für n = 12, n = 20, ... n [mm] \to \infty [/mm] , dass alles für festes t, sagen wir mal, t = [mm] 2\pi.
[/mm]
Stichworte: Einheitswurzel, Einheitskreis
Was stellt [mm] \summe_{k=1}^{\infty}|x_{k}(t)-x_{k-1}(t)| [/mm] für n [mm] \to \infty [/mm] dar, wenn t = [mm] 2\pi?
[/mm]
In diesem Fall, was kann man über das Konvergenzverhalten von [mm] \summe_{k=1}^{n}|x_{k}(t)-x_{k-1}(t)| [/mm] sagen?
gruss,
logarithmus
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Guten Tag!
Ich habe noch ne Frage wegen dem i.
wenn ich den Wert für [mm] x_{k}(t)-x_{k-1}(t) [/mm] ausrechnen will, muss ich ja:
[mm] e^{itk/n}-e^{it(k-1)/n}. [/mm] Werte für k und n habe ich ja. Für t kann ich sagen [mm] 2\pi. [/mm] Aber was ist denn [mm] e^{i}?
[/mm]
Weil ich muss ja dann den Streckenzug skizzieren und noch den Grenzwert berechnen.
Ich weiß ihr habt mir schon viele Tipps gegeben, aber ich komme irgendwie nicht drauf. :-/
Es grüßt mathejoker
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:33 Mi 29.06.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast nicht die Bedeutung von [mm] z=e^{i*\phi} [/mm] verstanden.
z liegt auf dem Einheitskreis, der Vektor zu z bildet mit der pos x-Achse den Winkel [mm] \phi.Deshalb [/mm] ist z=-1 für [mm] \phi=\pi [/mm] z=i für [mm] \phi=\pi/2, z=1/\wurzel{2}+i*1/\wurzel{2} [/mm] usw. Damit kannst du für jedes t erstmal loszeichnen. das Zeichnen ist einfach wenn t irgendein rationales Vielfaches von [mm] \pi [/mm] ist.
Wenn dirs immer noch unheimlich ist schreib [mm] z=e^{i*\phi} =cos(\phi)+i*sin(\phi)
[/mm]
und [mm] e^{i} iste^{1*i} \approx e{i*\pi/3} =0,5+i*\wurzel{3}/2
[/mm]
Alles klar
Gruss leduart
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