Aufgabe Summen- Produktzeichen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Schreibe folgende Ausdrücke mit Hilfe von Summen- und Produktzeichen:
a) 1 - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3} [/mm] - [mm] \bruch{1}{4} [/mm] + [mm] \bruch{1}{5} [/mm] + - ... + - [mm] \bruch{1}{m}
[/mm]
b) Die Summe der Einträge in der t-ten Zeile des Pascal`schen Dreiecks
c) [mm] 1^{1} [/mm] * [mm] (1^{1} [/mm] + [mm] 2^{2}) [/mm] * [mm] (1^{1} [/mm] + [mm] 2^{2} [/mm] + [mm] 3^{3}) [/mm] * ... * [mm] (1^{1} [/mm] + [mm] 2^{2} [/mm] + [mm] 3^{3} [/mm] + ... + [mm] k^{k}) [/mm] |
Hallo,
also was ein Summen- und was ein Produktzeichen ist, ist mir noch klar.
bei a) habe ich erkannt, dass es sich um eine alternierende Summe handelt. Diese habe ich mit [mm] \summe_{x=1}^{m} [/mm] (-1) dargestellt aber ich komme nicht drauf wie ich weiter mache. ich denke es handelt sich hier um eine ganz bekannte Formel aus der Mathematik aber ich steh irgendwie auf dem schlauch.
bei b) weiss ich schon überhaupt nicht wie ich ansetzen muss. Also wäre ich hier für einen denkanstoß sehr dankbar.
bei c) habe ich erkannt, dass ich hier eine summe und ein produkt habe also:
[mm] \produkt_{i=1}^{n} \summe_{i=1}^{k} [/mm] aber wie kriege ich die einzelen werte hin??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:09 So 31.10.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mathenully!
Bei einer alternierenden Reihe benötigst Du einen Term der Art [mm](-1)^k[/mm] , um das wechselnde Vorzeichen zu erhalten.
Nun noch den entsprechende Term aufschreiben:
[mm]\summe_{\red{k}=1}^{m}(-1)^k*...[/mm]
Gruß
Loddar
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Hallo mathenully,
das Pascalsche Dreieck hat ja eine etwas eigenartige Zeilenzählung. Sie beginnt mit Null. In der nullten Zeile steht nur eine 1. In der ersten Zeile dann zwei Einsen, in der zweiten endlich die bekannte binomische Formel (quadratisch), mit den Koeffizienten 1,2,1.
Und so weiter.
In der t-ten Zeile stehen also alle Binomialkoeffizienten, bei denen "oben" ein t steht.
Jetzt du.
Grüße
reverend
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Nochmal hallo,
Dein Ansatz hat ein Problem:
> Schreibe folgende Ausdrücke mit Hilfe von Summen- und
> Produktzeichen:
> c) [mm]1^{1}[/mm] * [mm](1^{1}[/mm] + [mm]2^{2})[/mm] * [mm](1^{1}[/mm] + [mm]2^{2}[/mm] + [mm]3^{3})[/mm] * ...
> * [mm](1^{1}[/mm] + [mm]2^{2}[/mm] + [mm]3^{3}[/mm] + ... + [mm]k^{k})[/mm]
>
> bei c) habe ich erkannt, dass ich hier eine summe und ein
> produkt habe
genauer: du hast ein Produkt von Summen.
> also:
> [mm]\produkt_{i=1}^{n} \summe_{i=1}^{k}[/mm] aber wie kriege ich
> die einzelen werte hin??
Das geht schon in die richtige Richtung, denn Du hast ganz richtig eben ein Produkt von Summen da stehen. Es ist aber bei einer solchen Schachtelung nötig, sich genau zu überlegen, wie die Indizes laufen. Dabei ist der Laufindex der unterschiedlichen Summen und Produkte normalerweise nicht der gleiche.
Kannst Du in irgendeiner Sprache programmieren? Dann wird es nämlich sofort deutlich. Hier z.B. ist die Variable i (des Produkts) erst dann wieder frei, wenn das ganze Produkt berechnet ist. i steht darum nicht als Laufvariable für die Summe zur Verfügung.
Mit dem Ansatz [mm] \produkt_{i=1}^n \summe_{\blue{j}=1}^\blue{i} [/mm] kommst Du aber weiter. Überleg mal, was sich da wann verändert. Man liest das ja von außen nach innen. Das Produkt ist also übergeordnet. i läuft von 1 bis n, ist also erstmal 1. Dann läuft j in der Summe von 1 bis 1. Als nächstes ist i=2, und j läuft von 1 bis 2. Danach ist i=3, und j läuft bis 3. Etc.
Ab hier kommst Du bestimmt allein weiter. Welcher Term steht also nach dem Summenzeichen?
Grüße
reverend
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