Aufgabe Binomialverteilung < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:23 Di 23.11.2010 | | Autor: | drahmas |
| Aufgabe | Nehmen wir an, ein Schütze trifft ein Ziel mit der Wahrscheinlichkeit von 35% und schießt fünf Mal.
A) Berechne den Erwartungswert [mm] \mu [/mm] und die Standardabweichung [mm] \sigma.
[/mm]
B) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er
a) genau drei,
b) mindestens vier,
c) weniger als die Hälfte,
d) eine ungerade Anzahl Treffer hat.
C) Wie oft muss er schießen, damit die Wahrscheinlichkeit mindestens einmal zu treffen größer als 80% ist? |
Hallo,
folgende Fragen zur o.g. Aufgabe:
Zu A) Was versteht man genau unter Erwartungswert, bzw. Standardabweichung? Ich kann mir darunter nichts vorstellen und weiß somit nicht was ich da ausrechne, bzw. wofür es notwendig sein kann.
B) Ist soweit klar.
C) Wie komme ich da zum Ergebnis? Muss ich da die Formel [mm] P(X=k)=\vektor{n \\ k}*p^k*(1-p)^n^-^k [/mm] umstellen?
Da weiß ich definitiv nicht weiter...
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:50 Di 23.11.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
zu A :
der Erwartungswert ist genau das, was man sich darunter vorstellt:
Wenn ein Schütze mit 35% Trefferwahrscheinlichkeit 100 mal schießt, so wird man mit etwa 35 Treffern rechnen, bei 200 Schüssen mit etwa 70 Treffern und bei 5 Schüssen mit etwa ... Treffern. Genau!
Bei binomialverteilten Zufallsvariablen X berechnet sich der Erwartungswert [mm] \mu [/mm] = E(X) nach der Formel [mm] \mu [/mm] = n*p (n: Stichprobenumfang, p : Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Einzelereignisses, "Trefferwahrscheinlichkeit"). Wenn der Schütze 1000 Serien à fünf Schuss hinlegt und jedesmal die Anzahl der Treffer notiert und dann den Mittelwert dieser 1000 Zahlen bildet, wird er etwa auf 1,75 kommen.
Die Standardabweichung [mm] \sigma [/mm] ist ein Maß dafür, wie sehr die Einzelergebnisse um diesen Mittelwert streuen. Bei der Binomialverteilung berechnet sich [mm] \sigma [/mm] gemäß [mm] \sigma [/mm] = [mm] \wurzel{n*p*(1-p)}. [/mm] Als Faustformel für [mm] \sigma>3 [/mm] (das ist hier nicht erfüllt!) gilt dabei, dass in 68% aller Fälle die Trefferanzahl im Bereich [mm] \mu-\sigma [/mm] ... [mm] \mu+\sigma [/mm] liegt, in 95% aller Fälle im Bereich [mm] \mu-2*\sigma [/mm] ... [mm] \mu+2*\sigma.
[/mm]
zu C :
Im Prinzip ja, wenn das so einfach wäre.
Du kannst hier das Gegenereignis betrachten : statt n aus der Bedingung P(X [mm] \ge [/mm] 1) > 0,8 zu berechnen, nimmst du die Bedingung P(X < 1) < 0,2
Zum Glück gibt es nicht sehr viele Möglichkeiten für X < 1, so dass du n leicht aus der von dir angegebenen Formel $ [mm] P(X=k)=\vektor{n \\ k}\cdot{}p^k\cdot{}(1-p)^n^-^k [/mm] $ berechnen kannst.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:11 Di 23.11.2010 | | Autor: | drahmas |
Hi Sax,
danke für die Antwort.
Ich habe jetzt P(<1) ausgerechnet, das ergibt bei mir 0,1160, also etwa 11,6%.
Nur ist mir noch nicht ganz klar, wie ich das weiter rechne.
Nach welchem Schema setze ich das ein?
[mm] P(X=0)=\vektor{n \\ 0}*0,35^0*(1-0,35)^n^-^0=0,1160
[/mm]
Wobei [mm] \vektor{n \\ 0} [/mm] doch immer 1 ist, oder?
Wie ich die Variable "n" bekomme, ist mir leider noch nicht ganz klar...
Beste Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:21 Di 23.11.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
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> Ich habe jetzt P(<1) ausgerechnet, das ergibt bei mir
> 0,1160, also etwa 11,6%.
Wie hast du das gemacht ?
Die Bedingung ist P(X<1) < 0,2, aber warum 0,116 ?
> Nur ist mir noch nicht ganz klar, wie ich das weiter
> rechne.
>
> Nach welchem Schema setze ich das ein?
>
> [mm]P(X=0)=\vektor{n \\ 0}*0,35^0*(1-0,35)^n^-^0=0,1160[/mm]
Was hast du denn da für n eingesetzt ?
>
> Wobei [mm]\vektor{n \\ 0}[/mm] doch immer 1 ist, oder?
Das stimmt.
>
> Wie ich die Variable "n" bekomme, ist mir leider noch nicht
> ganz klar...
>
> Beste Grüße
>
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:22 Mi 24.11.2010 | | Autor: | drahmas |
Edit:
Ich habs glaube ich jetzt.
Ich rechne das Gegenereignis aus, also 1-P(X=0). So erhalte ich am Ende [mm] 1-0,65^5. [/mm] Statt 5 setze ich für "n" "x" ein und erhalte [mm] 1-0,65^x=0,8. [/mm] Das dann logarithmiert ergibt am Ende 3,75, also in etwa 4 Schüsse.
Ist der Ansatz so in Ordnung?
Hallo,
ich habe das so verstanden, das P(X<1) gleichzusetzen ist mit, P(X=0), da ja nur 0 noch kleiner ist als 1.
P(X=0) = [mm] \vektor{5 \\ 0} [/mm] * [mm] 0,35^0 [/mm] * [mm] (1-0,35)^5^-^0 [/mm] = [mm] 1*0,35^0*0,1160 [/mm] = 0,1160
Für n habe ich noch gar nichts eingesetzt, oder hab ich da was falsch verstanden?
Danke und beste Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:17 Mi 24.11.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
ja, so ist es ok.
> ... ergibt am Ende 3,75, also in etwa 4 Schüsse.
nicht "etwa", sondern "mindestens", es ergibt sich doch die Ungleichung n > ... , 4 Schüsse wäre auch dann die richtige Antwort, wenn der Quotient den Wert 3,1 hätte.
> P(X=0) = $ [mm] \vektor{5 \\ 0} [/mm] $ * $ [mm] 0,35^0 [/mm] $ * $ [mm] (1-0,35)^5^-^0 [/mm] $ = $ [mm] 1\cdot{}0,35^0\cdot{}0,1160 [/mm] $ = 0,1160
Für n habe ich noch gar nichts eingesetzt, oder hab ich da was falsch verstanden?
Doch, du hast 5 eingesetzt. Das Missverständnis rührt wahrscheinlich aus der ungeschickten Aufgabenstellung. Der Teil "und schießt fünf mal" bezieht sich nur auf Teile A) und B) der Aufgabenstellung, aber nicht auf C), hätte also nicht im Kopf der Aufgabe platziert sein sollen.
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:35 Mi 24.11.2010 | | Autor: | drahmas |
Okay, vielen Dank, dann ist mir das nun klar :) .
Beste Grüße
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