Aufgabe Ableitung/Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Wir betrachten die gestauchten Schwingungen [mm] f_n:\,[-1\,,\,1]\to\mathbb{R}\,,\quad n=1,\,2,\,3,
[/mm]
[mm] f_1(x)\,=\,\begin{cases}x\,\sin{\frac{1}{x}}\quad & ,\,x\,\neq\,0 \\ 0\quad & ,\,x=0\end{cases}
[/mm]
[mm] f_2(x)\,=\,\begin{cases}x^2\,\sin{\frac{1}{x}}\quad & ,\,x\,\neq\,0 \\ 0\quad & ,\,x=0\end{cases}
[/mm]
[mm] f_3(x)\,=\,\begin{cases}x^3\,\sin{\frac{1}{x}}\quad & ,\,x\,\neq\,0 \\ 0\quad & ,\,x=0\end{cases}
[/mm]
Alle drei Funktionen sind für [mm] x\,\neq\,0 [/mm] differenzierbar.
Berechnen Sie für [mm] x\,\neq\,0 [/mm] die drei Ableitungen und entscheiden Sie dann,
welche der folgenden Eigenschaften die Funktionen und ihre Ableitungen besitzen:
[mm] f_{1}; f_{2}; f_{3} [/mm] sind in x=0 a)stetig b)nicht stetig
[mm] f_{1}';f_{2}';f'_{3}' [/mm] sind auf [-1,1] a)unbeschränkt b)beschränkt
[mm] f_{1}';f_{2}';f_{3}' [/mm] sind a) stetig in x=0 fortsetzbar b) nicht stetig in x=0 forsetzbar |
Hallo.
Ich soll die oben beschriebene Aufgabe erledigen.
Ich würde zunächst gerne wissen, ob mein Ansatz der richtige ist.
Zunächst habe ich die einzelnen Funktionen [mm] f_{1}; f_{2} [/mm] und [mm] f_{3} [/mm] abgeleitet.
Meine Lösung:(Kettenregel und Produktregel)
[mm] f_{1}(x)=x'*sin(\bruch{1}{x})+(sin\bruch{1}{x})'*x
[/mm]
[mm] f_{1}'(x)=sin(\bruch{1}{x})-x^{-2}*x*cos(\bruch{1}{x})
[/mm]
[mm] f_{1}'(x)=sin(\bruch{1}{x})-x^{-1}*cos(\bruch{1}{x})
[/mm]
Da sich [mm] f_{1} f_{2} [/mm] und [mm] f_{3} [/mm] nur um x; [mm] x^2 [/mm] und [mm] x^3 [/mm] unterscheiden, sind die Ableitungen demnach:
[mm] f_{2}'(x)=2x*sin(\bruch{1}{x})-x^{-1}*cos(\bruch{1}{x})
[/mm]
[mm] f_{3}'(x)=3x^2*f_{1}'(x)=sin(\bruch{1}{x})-x^{-1}*cos(\bruch{1}{x})
[/mm]
Diese Ableitungen gelten für alle [mm] x\not=0, [/mm] für alle x=0 gilt [mm] f_{n}(0)=0 [/mm] mit n=1,2,3.
Als stetig bezeichnet man eine Funktion wenn für:
[mm] \limes_{x\rightarrow\-a}=f(a)
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\+a}=f(a) [/mm] gilt.
Also Grenzwertbildung von rechts, wie auch links.
Stimmt die linke nicht mit der rechten überein, so heißt das ja bildlich gesprochen, dass eine Art "Sprung" zwischen den letzten Werten vor a (von links und rechts) existiert und somit die Funktion an eben jener Stelle a nicht stetig ist.
D.h nun um die 1.Aussage zu überprüfen müsste ich für alle [mm] f_{n}(x) [/mm] eine links- und rechtsseitige Annäherung gegen 0 machen.
Bspw für [mm] f_{1}(x):
[/mm]
Linksseitig:
[mm] \limes_{x\rightarrow\-0}f_{1}(x)=\limes_{x\rightarrow\-0}x*sin(\bruch{1}{x} [/mm]
Rechtsseitig:
[mm] \limes_{x\rightarrow\+0}f_{1}(x)=\limes_{x\rightarrow\+0}x*sin(\bruch{1}{x} [/mm]
Ebenso für [mm] f_{2} [/mm] und [mm] f_{3}.
[/mm]
Ist das von den Überlegungen her bisher korrekt?
Viele Grüße und danke im Voraus.
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Hallo Masseltof,
Du hast schon einen Fehler in den Ableitungen. [mm] $f_1'$ [/mm] stimmt, aber für die anderen beiden reicht es nicht, einfach $2x$ bzw. $3 x ^2 $ vorzuschreiben.
Leite beide lieber nochmal mit der Produktregel ab...
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Hallo und entschuldigt bitte diesen Leichtsinnsfehler.
Ich war sehr auf die Stetigkeit konzentriert und habe natürlich wieder etwas vergessen :(.
$ [mm] f_{2}'(x)=2x\cdot{}sin(\bruch{1}{x})-x^{-2}*x^2\cdot{}cos(\bruch{1}{x}) [/mm] $=$ [mm] f_{2}'(x)=2x\cdot{}sin(\bruch{1}{x})-{}cos(\bruch{1}{x}) [/mm] $
und für
[mm] f_{3}'(x)=3x^2*sin(\bruch{1}{x})-x^{-2}*x^3*cos(\bruch{1}{x})
[/mm]
[mm] f_{3}'(x)=3x^2*sin(\bruch{1}{x})-x*cos(\bruch{1}{x}).
[/mm]
Ich denke, dass das jetzt richtig ist, denn
(u(x)*v(x))'=u'(x)*v(x)+v'(x)+u(x)
Viele Grüße und danke im Voraus.
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Jetzt stimmt's...
Dann kannst du jetzt die Aussagen überprüfen.
Deine Ideen sind soweit richtig....
Setze mal für jede Funktion voraus, dass einmal $x<0$ und einmal "x>0" und dann überprüfst du den links- bzw. rechtsseitigen Grenzwert.
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Hallo und danke für die Antwort.
Ich hänge immer noch bei der Aufgabe und weiß gerade nicht weiter.
Es geht um die erste Teilaufgabe angewendet auf die Funktion [mm] f_{1}.
[/mm]
[mm] f_{1}(x)=x*sin(\bruch{1}{x}) [/mm] für [mm] x\not=0
[/mm]
Nun nähere ich mich der Null "linksseitig an":
[mm] \limes_{x\rightarrow\-0}f_{1}(x)=\limes_{0\rightarrow\-0}x*sin(\bruch{1}{x})
[/mm]
Der Sinus kann nur zwischen [-1,1] liegen. Da x [mm] \to [/mm] 0 läuft, wird [mm] \bruch{1}{x} [/mm] eine gegen unendlich laufende Zahl.
Der Sinus ist periodisch. Für sehr kleine x läuft [mm] sinus(\bruch{1}{x}) gegen\approx [/mm] 0.98.
Das x vor dem Sinus ist nimmt sehr kleine Werte an und trägt ein negatives Vorzeichen.
Das Produkt aus beiden führt auf eine sehr kleine Zahlen, die gegen 0 laufen.
Also ist:
[mm] \limes_{0\rightarrow\-0}x*sin(\bruch{1}{x})=0
[/mm]
Rechtsseitig:
[mm] f(x)=\limes_{0\rightarrow\+0}x*sin(\bruch{1}{x})
[/mm]
Auch hier nimmt wird [mm] \bruch{1}{x} [/mm] für kleine x sehr groß und dadurch läuft [mm] sin(\bruch{1}{x}) [/mm] gegen [mm] \approx-0.98.
[/mm]
x ist sehr klein (positives Vorzeichen) und das Produkt läuft gegen sehr kleine Zahlen bei 0.
Also: [mm] \limes_{0\rightarrow\-0}x*sin(\bruch{1}{x})=0
[/mm]
Rechtsseitige und linksseitige Grenzwertbildung stimmen überein und somit ist die Funktion [mm] f_{1} [/mm] bei x=0 stetig.
Ich finde diese Argumentation jedoch sehr ungenau.
Da der Sinus nur Werte zwischen [-1,1] annehmen kann und der Vorfaktor (x) vor [mm] sinus(\bruch{1}{x}) [/mm] nur sehr kleine Werte annimt, wird der Funktionswert auch sehr klein.
Für den Beweis der Stetigkeit ist es doch auch nicht von großer Bedeutung, wenn die linksseitige Annäherung -0 und die rechtsseitige Annäherung +0 (oder umgekehrt) ergibt, denn 0 ist "neutral".
Sollte man dies aber nicht irgendwie anders beweisen?
Viele Grüße und danke im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:30 So 16.01.2011 | | Autor: | fred97 |
Es ist
[mm] $|f_1(x)| \le [/mm] |x|$
Jetzt x [mm] \to [/mm] 0.
FRED
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Hallo Fred und danke für die Antwort.
Den Sinn dieser Ungleichung verstehe ich.
Für alle [mm] x\ge0 [/mm] gilt: [mm] x\gex*sin(\bruch{1}{x})\le{x}
[/mm]
Denn x kann sin kann maximal 1 annehmen und 1*x=x, so dass [mm] x*sin(\bruch{1}{x}) [/mm] nicht größer als x werden kann.
Für alle x<0 hingegen gilt [mm] x*sin(\bruch{1}{x})\gex\vee \lex, [/mm] weswegen du den Betrag genommen hast, oder?
Denn [mm] |x*sin(\bruch{1}{x})| [/mm] kann nicht [mm] \ge [/mm] |x| werden.
Würde dann aber nicht der 2. Fall fehlen?
Um zu verdeutlichen, was ich mit den Fällen beim Betrag meine.
[mm] f_{1}(x)=x*sin(\bruch{1}{x})
[/mm]
Diese Funktion betrachten wir für alle x>0.
[mm] x*sin(\bruch{1}{x})\ge{x}, [/mm] denn [mm] sin(\bruch{1}{x})\approx[-1,1]
[/mm]
Nun betrachtet man diese FUnktion für x<0
[mm] x*sin(\bruch{1}{x})=f_{1}(x)=x*y
[/mm]
x<0=-x
1.y<0=-y [mm] \Rightarrow -x*-y=+z_{1} [/mm] -> [mm] +z_{1}>-x
[/mm]
2.y=0 [mm] \Rightarrow [/mm] -x*0=0 -> o>-x
3.y>0 [mm] \Rightarrow -x*y=z_{2} [/mm] -> [mm] 3.1z_{2}<-x [/mm] 3.2-x*1=-x -> -x=-x
Das sind jene Fälle die für alle x<0 gelten.
Für den Betrag gilt ja:
|x|= -x für alle x<0 und x für alle x>0
|x*sin(bruch{1}{x})|= [mm] -(x*sin(\bruch{1}{x}) [/mm] für alle [mm] x*sin(\bruch{1}{x})<0
[/mm]
und [mm] x*sin(\bruch{1}{x}) [/mm] für alle [mm] x*sin(\bruch{1}{x})>0
[/mm]
Sind all die o.g Fälle in der Betragsungleichung enthalten?
Nun gilt es ja den Grenzwert zu bilden:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0}|x*sin(\bruch{1}{x})|\le\limes_{x\rightarrow\ 0}|x|
[/mm]
Für beide Seiten geht der Grenzwert gegen 0. Der Grenzwert von [mm] x*sin(\bruch{1}{x}) [/mm] ist demnach 0.
Reichts das als Beweisführung?
Viele Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:22 Di 18.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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