Aufgabe #97 (SpaMO),(ZT) < MO andere Länder < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 11:35 So 18.09.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle.
Es seien [mm] $m,n\in\IZ$ [/mm] und [mm] $\frac{n+1}{m}+\frac{m+1}{n}$ [/mm] ganzzahlig. Man zeige, dass [mm] $ggT(m,n)\leq\sqrt{m+n}$ [/mm] gilt.
Liebe Grüße,
Hanno
|
|
| |
|
Hallo Hanno.
> Es seien [mm]m,n\in\IZ[/mm] und [mm]\frac{n+1}{m}+\frac{m+1}{n}[/mm]
> ganzzahlig. Man zeige, dass [mm]ggT(m,n)\leq\sqrt{m+n}[/mm] gilt.
Sei [mm]a=ggT(m,n), n=an', m=am'[/mm].
[mm]\frac{a^2n'^2+a^2m'^2+an'+am'}{a^2n'm'}[/mm] ist ganzzahlig.
Insbesondere ist der Zähler ein Vielfaches von [mm]a^2[/mm].
Somit gilt [mm]a^2 | an'+am'=n+m[/mm], insbesondere [mm]a^2 \leq n+m \Rightarrow a \leq \sqrt{n+m}[/mm].
MfG
Jan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:06 So 18.09.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Jan.
Ja, das ist so richtig.
Liebe Grüße,
Hanno
|
|
|
|
