Aufgabe #80 (IMC),(LinA) < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 21:44 Fr 29.07.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Es sei [mm] $f:\IR^{n\times n}\to\IR$ [/mm] eine lineare Abbildung.
(a)
Beweise, dass es eine eindeutige Matrix [mm] $C\in\IR^{n\times n}$ [/mm] mit [mm] $f(A)=\text{spur}(AC)$ [/mm] für alle [mm] $A\in\IR^{n\times n}$ [/mm] gibt.
(b)
Es gelte ferner $f(AB)=f(BA)$ für alle [mm] $A,B\in\IR^{n\times n}$. [/mm] Man zeige, dass ein [mm] $\lambda\in\IR$ [/mm] mit [mm] $f(A)=\lambda\cdot\text{spur}(A)$ [/mm] existiert.
Liebe Grüße,
Hanno
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:49 Di 16.08.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Ich habe mir zu dieser Aufgabe folgendes überlegt:
Zu Aufgabenteil (a)
Man sieht unschwer ein, dass [mm] $\{E_{i,j}\}_{i,j\in\{1,2,...,n\}}\subset \IR^{n\times n}$ [/mm] mit [mm] $(E_{i,j})_{u,v} [/mm] = [mm] \delta_{i,u}\delta_{j,v}$ [/mm] eine Basis von [mm] $\IR^{n\times n}$ [/mm] und [mm] $\{b_{i,j}\}_{i,j\in\{1,2,...,n\}}\subset \IR^{n\times n}^{\ast}$ [/mm] mit [mm] $(b_{i,j})(E_{u,v}) [/mm] = [mm] \delta_{i,u}\delta_{j,v}$ [/mm] eine Basis des Dualraumes [mm] $\IR^{n\times n}^{\ast}$ [/mm] von [mm] $\IR^{n\times n}$ [/mm] ist.
Sei nun [mm] $f\in \IR^{n\times n}^{\ast}$ [/mm] beliebig gewählt und [mm] $f=\summe_{i,j\in\{1,2,...,n\}} \lambda_{i,j} b_{i,j}$ [/mm] mit geeigneten Koeffizienten [mm] $\lambda_{i,j}\in\IR, i,j\in\{1,2,...,n\}$. [/mm] Man definiere nun [mm] $C\in\IR^{n\times n}$ [/mm] mit [mm] $c_{i,j}:=\lambda_{j,i}$ [/mm] und wähle [mm] $(a_{i,j})\in\IR^{n\times n}$ [/mm] beliebig. Dann gilt für [mm] $B\in \IR^{n\times n}, [/mm] B:=AC$: [mm] $b_{i,j}=\summe_{k=1}^{n} a_{i,k} c_{k,j}$, [/mm] also [mm] $\text{Spur}(AC)=\summe_{i=1}^{n}\summe_{k=1}^{n} a_{i,k} b_{k,i}=\summe_{i,j} a_{i,j} c_{j,i} [/mm] = [mm] \summe_{i,j} a_{i,j} \lambda_{i,j} [/mm] = [mm] \summe_{i,j} b_{i,j}((a_{i,j})) [/mm] = [mm] f((a_{i,j}))$. [/mm] Damit ist die gesuchte Matrix $C$ gefunden.
Zu Aufgabenteil (b)
Nach (a) existiert eine Matrix [mm] $C\in\IR^{n\times n}$ [/mm] mit [mm] $f(A)=\text{Spur}(AC)$ [/mm] für alle [mm] $A\in\IR^{n\times n}$. [/mm] Es ist zu zeigen, dass unter den zusätzlichen Voraussetzungen $C$ ein Vielfaches der Einheitsmatrix ist. Dazu sei zuerst nachgewiesen, dass [mm] $c_{i,j}=0$ [/mm] für [mm] $i\not= [/mm] j$ gilt. Betrachten wir die Einheitsmatrizen [mm] $E_{j,i}$ [/mm] und [mm] $E_{j,j}$. [/mm] Es ist [mm] $E_{j,j} E_{j,i} [/mm] = [mm] E_{j,i}$, [/mm] aber [mm] $E_{j,i} E_{j,j}=0$; [/mm] Begründung: Linksmultiplikation mit der Einheitsmatrix [mm] $E_{j,j}$ [/mm] führt zur Entferung aller Zeilen außer der j-ten - da [mm] $E_{j,i}$ [/mm] nur in der $j$-ten Zeile ein von $0$ verschiedenes Element stehen hat, bleibt die Matrix invariant unter Linksmultiplikation mit [mm] $E_{j,j}$. [/mm] Rechtsmultiplikation mit [mm] $E_{j,j}$ [/mm] bewirkt Auslöschung aller Spalten bis auf die $j$-te. Da [mm] $E_{j,i}$ [/mm] nur in der $i$-ten Spalte ein von $0$ verschiedenes Element beinhaltet und ferner nach Voraussetzung [mm] $i\not= [/mm] j$ gilt, folgt, dass [mm] $E_{j,i} E_{j,j}=0$ [/mm] ist. Zurück zum Problem: Linksmultiplikation einer Matrix mit [mm] $E_{j,i}$ [/mm] führt zur Verschiebung der $j$-ten in die $i$-te Zeile und zur Auslöschung aller übrigen Zeilen. Damit ist die Spur der resultierenden Matrix genau das Element an der Stelle $i,j$. Mit der Voraussetzung folgt nun: [mm] $0=\text{Spur}(0\cdot C)=\text{Spur}(E_{j,i} E_{j,j} C)=f(E_{j,i} E_{j,j})=f(E_{j,j} E_{j,i})=f(E_{j,i})=\text{Spur}(E_{j,i} C)=c_{i,j}$. [/mm] Damit ist gezeigt, dass [mm] $c_{i,j}=0$ [/mm] für [mm] $i\not= [/mm] j$ gelten muss. Es bleibt zu zeigen, dass die Elemente der Hauptdiagonalen übereinstimmen. Dabei dürfen wir das eben bewiesen verwenden, d.h. dass $C$ Diagonalgestalt hat. Seien [mm] $i,j\in\{1,2,...,n\}, i\not= [/mm] j$ beliebig gewählt; es ist zu zeigne, dass [mm] $c_{i,i}=c_{j,j}$ [/mm] gilt. Betrachten wir dazu die Matrizen [mm] $E_1:=E_{i,i}+E_{j,i}$ [/mm] und [mm] $E_2:=E_{j,j}+E_{i,j}$. [/mm] Es ist [mm] $E_1 E_2 [/mm] = [mm] E_2, E_2 E_1 [/mm] = [mm] E_1$. [/mm] Ferner ist [mm] $E_1 [/mm] C$ die Matrix, für die die $i$-te Zeile von $C$ erhalten wurde und die $j$-te zugleich durch selbige ersetzt wurde. Da aber alle von der Hauptdiagonalen verschiedenen Elemente in $C$ gleich 0 sind, ist [mm] $\text{Spur}(E_1 C)=c_{i,i}$. [/mm] Analog leitet man [mm] $\text{Spur}(E_2 C)=c_{j,j}$ [/mm] her. Aus der Voraussetzung folgt nun [mm] $c_{i,i}=\text{Spur}(E_1 C)=\text{Spur}(E_2 E_1 [/mm] C) = [mm] \text{Spur} (E_1 E_2 [/mm] C) = [mm] \text{Spur}(E_2 [/mm] C) = [mm] c_{j,j}$. [/mm] Damit ist alles gezeigt.
Eine schöne Aufgabe, man lernt einiges über die Multiplikation von Matrizen, nämlich wie sich bei Multiplikation von Matrizen welche Element der Faktoren auf das Produkt auswirken.
Liebe Grüße,
Hanno
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:30 Mi 17.08.2005 | | Autor: | Stefan |
Lieber Hanno!
Die Idee ist super, aber es sind ein paar (Schreib-)Fehler drinnen:
> Zu Aufgabenteil (a)
>
> Man sieht unschwer ein, dass
> [mm]\{E_{i,j}\}_{i,j\in\{1,2,...,n\}}\subset \IR^{n\times n}[/mm]
> mit [mm](E_{i,j})_{u,v} = \delta_{i,u}\delta_{j,v}[/mm] eine Basis
> von [mm]\IR^{n\times n}[/mm] und
> [mm]\{b_{i,j}\}_{i,j\in\{1,2,...,n\}}\subset \IR^{n\times n}^{\ast}[/mm]
> mit [mm](b_{i,j})(E_{u,v}) = \delta_{i,u}\delta_{j,v}[/mm] eine
> Basis des Dualraumes [mm]\IR^{n\times n}^{\ast}[/mm] von
> [mm]\IR^{n\times n}[/mm] ist.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Sei nun [mm]f\in \IR^{n\times n}^{\ast}[/mm] beliebig gewählt und
> [mm]f=\summe_{i,j\in\{1,2,...,n\}} \lambda_{i,j} b_{i,j}[/mm] mit
> geeigneten Koeffizienten [mm]\lambda_{i,j}\in\IR, i,j\in\{1,2,...,n\}[/mm].
> Man definiere nun [mm]C\in\IR^{n\times n}[/mm] mit
> [mm]c_{i,j}:=\lambda_{j,i}[/mm] und wähle [mm](a_{i,j})\in\IR^{n\times n}[/mm]
> beliebig. Dann gilt für [mm]B\in \IR^{n\times n}, B:=AC[/mm]:
> [mm]b_{i,j}=\summe_{k=1}^{n} a_{i,k} c_{k,j}[/mm], also
> [mm]\text{Spur}(AC)=\summe_{i=1}^{n}\summe_{k=1}^{n} a_{i,k} b_{k,i}[/mm]
Hier muss es doch [mm] $\summe_{i=1}^n b_{i,i}$ [/mm] heißen.
> [mm]=\summe_{i,j} a_{i,j} c_{j,i} = \summe_{i,j} a_{i,j} \lambda_{i,j} = \summe_{i,j} b_{i,j}((a_{i,j})) [/mm]
Und hier muss es am Schluss [mm]=\summe_{i,j} \lambda_{i,j} b_{i,j}((a_{i,j})) [/mm] heißen.
Aber nichtsdestrotz sehr schön! ![[respekt]](/images/smileys/respekt.gif "[respekt]")
Die (b) schaue ich mir (oder ein anderer sich) später an...
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:27 Mi 17.08.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Stefan!
> $ [mm] \text{Spur}(AC)=\summe_{i=1}^{n}\summe_{k=1}^{n} a_{i,k} b_{k,i} [/mm] $
> Hier muss es doch $ [mm] \summe_{i=1}^n b_{i,i} [/mm] $ heißen.
Ich meinte $ [mm] \text{Spur}(AC)=\summe_{i=1}^{n}\summe_{k=1}^{n} a_{i,k} c_{k,i} [/mm] $, was genau $ [mm] \summe_{i=1}^n b_{i,i} [/mm] $ entspricht.
> Und hier muss es am Schluss $ [mm] =\summe_{i,j} \lambda_{i,j} b_{i,j}((a_{i,j})) [/mm] $ heißen.
Klar.
Liebe Grüße,
Hanno
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:17 Fr 19.08.2005 | | Autor: | Stefan |
Lieber Hanno!
Die b) ist vollkommen richtig und sehr schön gelöst! ![[respekt2]](/images/smileys/respekt2.gif "[respekt2]")
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
|
