Aufgabe #61, (DeMO), GL < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 12:30 Mo 18.07.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Zu jeder natürlichen Zahl $n$ mit [mm] $n\geq [/mm] 2$ bestimme man alle diejenigen reellen Zahlen $x$, für die das Polynom
[mm] $f(x)=(x-1)^4+(x-2)^4+...+(x-n)^4$
[/mm]
seinen kleinsten Wert annimmt.
Zusatzfrage meinerseits: wie sieht es für beliebige Exponenten, d.h. für Polynome
[mm] $p_k(x)=(x-1)^k+...+(x-n)^k$
[/mm]
aus?
Liebe Grüße,
Hanno
|
|
| |
|
Hallo Hanno.
Sei [mm]x'=\frac{n+1}{2}[/mm] das arithmetische Mittel von 1,2,...,n.
Sei [mm]x=x'+r[/mm] mit [mm]r \in R[/mm].
Die Summenglieder [mm](x-j)^k[/mm] und [mm](x-(n+1-j))^k[/mm] nenne ich "komplementär" (nur aus Faulheit, nicht um das Ganze anspruchsvoll wirken zu lassen).
Sei [mm]y=x'-j[/mm], [mm]j \in \{1,2,...,n\}[/mm]
Es gilt:
[mm](x'+r-j)=\frac{n+1}{2}+r-j=y+r[/mm]
[mm](x'+r-(n+1-j))=\frac{n+1}{2}+r-n-1+j=j-\frac{n+1}{2}+r=-y+r[/mm]
Für ungerade k gleichen sich komplementäre Summenglieder bei r=0 genau aus. Gibt es ein Summenglied [mm](x'-j)^k[/mm] mit [mm]j=x'[/mm] (zu diesem existiert dann kein komplementäres Glied) so ist dieses 0. Für ungerade k ist das Polynom daher für [mm]x=x'[/mm] (betragsmäßig) minimal.
Für gerade k und r=0 sind komplementäre Summenglieder gleich.
Die Summe zweier komplementärer Glieder ist dann minimal. Beweis:
[mm]2y^k<(y+r)^k+(-y+r)^k=(y+r)^k+(y-r)^k=2y^k+\sum \limits_{i=1}^{k}{{k \choose i} (y^ir^{k-i}+y^i(-r)^{k-i})}[/mm].
In der Summe rechts sind die Glieder abwechselnd positiv und 0.
Kommt ein Summenglied [mm](x-j)^k[/mm] mit [mm]j=x'[/mm] vor, so ist dieses für r=0 ebenfalls minimal.
Das gesuchte x ist daher das arithmetische Mittel von 1,2,...,n
MfG
Jan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:21 So 14.08.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Jan!
Damit du mal ein Feedback bekommst und die Frage nicht mehr als unbeantwortet gilt:
Alles korrekt! 
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
|
