Aufgabe #34 (GEO) < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 20:12 Do 05.05.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Hier eine schöne Übungsaufgabe aus Irland [ich selbst habe sie von math4u]:
Sei ABC ein Dreieck und D,E,F Punkte auf BC,CA,AB so gewählt, dass AD auf BC senkrecht steht, BE die Winkelhalbierende des Winkels ABC und CF Seitenhalbierende von AB ist. Zeige, dass sich AD,BE und CF genau dann in einem Punkt schneiden, wenn
[mm] $a^2(a-c)=(b^2-c^2)(a+c)$
[/mm]
gilt.
Zum Lösen dieser Aufgabe werden einige Sätze benötigt, die vielleicht nicht jedem bekannt sind. Gerade deshalb aber ist die Aufgabe eine schöne Übung. Die benötigten Sätze gebe ich in einer Mitteilung als Tip an.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:16 Do 05.05.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
(a)
Sei ABC und D,E,F Punkte auf BC,CA,AB. AD,BE und CF schneiden sich genau dann in einem Punkt, wenn
[mm] $\frac{AF}{FB}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}=1$
[/mm]
gilt. (Satz von CEVA)
(b)
Die Winkelhalbierende eines Winkels teilt die gegenüberliegenden Seiten im Verhältnis der anliegenden Seiten.
(c)
Sei ABC ein Dreieck mit den Seitenlänge a,b,c und D der Lotfußpunkt von A auf BC. Dann gilt
[mm] $BD=\frac{a^2+c^2-b^2}{2a}$.
[/mm]
Liebe Grüße,
Hanno
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Hallo Hanno,
Mit den angegebenen Sätzen ist die Aufgabe nicht mehr wirklich schwer. Aber eine nette Übung zu deren Anwendung. Der 3. Satz war mir bisher unbekannt - kennst du eine Herleitung für ihn, oder weißt du wie er heißt?
Nun zum Beweis:
Ceva:
[mm]\frac{ \overline{AF}}{ \overline{FB}}*\frac{ \overline{BD}}{ \overline{CD}}*\frac{ \overline{CE}}{ \overline{EA}}=1 \gdw \frac{ \overline{BD}}{ \overline{CD}}=\frac{ \overline{EA}}{ \overline{CE}}[/mm]
Satz der Winkelhalbierenden:
[mm]=\frac{ \overline{AB}}{ \overline{BC}}[/mm]
Satz (3) für Höhenfußpunkt:
[mm]\frac{\frac{a^2+c^2-b^2}{2a}}{a-\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2a}\right)}=\frac{c}{a} \gdw \frac{a^2-b^2+c^2}{a^2+b^2-c^2}=\frac{c}{a}\gdw a^2(a-c)=(b^2-c^2)(a+c)[/mm]
Gruß Samuel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:30 Sa 07.05.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Samuel!
Deine Lösung ist richtig, allerdings fehlt die Rückrichtung, die aber nur einer Äquivalenzbetrachtung bedarf, da auch die Umkehrung des Satzes von Ceva gilt. Den dritten "Satz" kann man sich selbst schnell mit dem Satz von Pythagoras herzuleiten, wozu ich dich hiermit ermuntere - ein berühmter Satz ist es bestimmt nicht ;)
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:13 Sa 07.05.2005 | | Autor: | Teletubyyy |
Hallo Hanno,
Hast recht, (3) ist wirklich nicht schwer herzuleiten. (War vorher nur zu faul mir ernsthaft Gedanken dazu zu machen )
$[BD]:=x$ ; $[AD]:=h$
[mm] I:$c^2-h^2=x^2 \gdw h^2=c^2-x^2$
[/mm]
[mm] II:$b^2-h^2=(a-x)^2$
[/mm]
in I eingesetzt:
[mm]b^2-(c^2-x^2)=(a-x)^2\gdw b^2-c^2-a^2=-2ax \gdw x=\frac{a^2-b^2+c^2}{2a}[/mm] [mm] $_\Box$
[/mm]
Wiso meinst du fehlt die Rückrichtung in meinem Beweis? Denn Ceva ist ja bekanntlich umkehrbar und davon abgesehen habe ich nirgends Implikationen, sondern nur äquivalenz 'Umformungen' benutzt.
Gruß Samuel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:49 Do 12.05.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Samuel.
Ok ok, ich gebe dir Recht mit den Äquivalenzuzmforungen; du hättest es aber auch explizit erwähnen können.
Liebe Grüße,
Hanno
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