Aufgabe #19 < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 13:27 So 27.02.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Man bestimme alle Primzahlen $p$, für die [mm] $\frac{2^{p-1}-1}{p}$ [/mm] eine Quadratzahl ist.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:15 So 27.02.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo Hanno
Ich betrachte zuerst den Ausdruck [mm] $2^{p-1}-1$ [/mm] für ungerade Primzahlen p (für $p=2$ ist ja [mm] $\frac{2^{p-1}-1}{p}$ [/mm] nicht ganz).
Da dann p-1 gerade ist, schreibe ich p-1=2k und erhalte: [mm] $2^{p-1}-1=2^{2k}-1={(2^k)}^2-1=(2^k+1)(2^k-1)$. [/mm] Diese Zahlen sind teilerfremd, da sie beide ungerade sind und sich nur um 2 unterscheiden.
Ist [mm] $\frac{2^{p-1}-1}{p}$ [/mm] eine Quadratzahl, dann muss mindestens eine der beiden Zahlen [mm] $2^k+1$, $2^k-1$ [/mm] auch eine Quadratzahl sein, denn genau eine von ihnen wird durch p geteilt und im einen Fall gilt
[mm] $\frac{2^{p-1}-1}{p}=\frac{2^k+1}{p}\cdot (2^k-1)$ [/mm] ist eine Quadratzahl; im anderene Fall
[mm] $\frac{2^{p-1}-1}{p}=(2^k+1)\cdot \frac{2^k-1}{p}$ [/mm] ist eine Quadratzahl, wobei in jedem Fall die
Faktoren teilerfremd sind. Das Produkt zweier teilerfremden Zahlen ist nur dann eine Quadratzahl, wenn jeder Faktor selber eine Quadratzahl ist.
Das führt dazu, dass man untersucht, für welche k die Zahl [mm] $2^k+1$ [/mm] rsp. [mm] $2^k-1$ [/mm] eine Quadratzahl ist.
a) Beh.: [mm] $2^k+1$ [/mm] ist nur für k=3 eine Quadratzahl.
Bew.: Sei [mm] $2^k+1=x^2$, [/mm] dann gilt [mm] $2^k=x^2-1=(x+1)(x-1)$. [/mm] Daher ist
$(x+1)(x-1)$ eine 2-er Potenz. Das geht nur, wenn x+1 und x-1 selber
2-er Potenzen sind. Die Zahlen x+1 und x-1 unterscheiden sich nur
um 2. Die einzigen 2-er Potenzen, die dass erfüllen sind 4 und 2,
daher gilt x=3 und [mm] $2^3+1=3^2$. [/mm] Also k=3.
b) Beh.: [mm] $2^k-1$ [/mm] ist nur für k=1 eine Quadratzahl.
Bew.: Für k=1 ergibt sich 1 und für k=2 ergibt sich 3.
Sei jetzt [mm] $k\geq [/mm] 2$ und [mm] $2^k-1=x^2$. [/mm] Schauen wir und diese Gleichung
Modulo 4 an, dann ist [mm] $2^k-1 \mod 4=-1\equiv [/mm] 3$. Und x müsste eine Zahl
sein, deren Quadrat 3 ist Modulo 4. Das ist aber unmöglich, denn
[mm] $0^2=0\mod [/mm] 4$, [mm] $1^2=1\mod [/mm] 4$, [mm] $2^2=0\mod [/mm] 4$, [mm] $3^2=1\mod [/mm] 4$.
Zurück zur Aufgabe. Ist also p>7, dann ist k>3 und in diesem Fall ist keine der Zahlen [mm] $2^k+1$ [/mm] rsp. [mm] $2^k-1$ [/mm] eine Quadratzahl und daher auch die ursprüngliche Zahl nicht.
Bleiben die Fälle p=3, p=5, p=7.
p=3: [mm] $\frac{2^2-1}{3}=1$ [/mm] Quadrat
p=5: [mm] $\frac{2^4-1}{5}=3$
[/mm]
p=7: [mm] $\frac{2^6-1}{7}=9$ [/mm] Quadrat
mfG Moudi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:00 So 27.02.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo moudi!
Wahnsinn, genau so habe ich es auch gemacht! 
Eine schöne Aufgabe wie ich finde, die mehr als nur eine zündende Idee braucht.
Liebe Grüße,
Hanno
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