Aufgabe #16 < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 09:51 So 20.02.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Quelle: Russische Mathematik Olympiade 1994
Gegeben sei eine Folge [mm] $a_1,a_2,...$. [/mm] Es sei [mm] $a_1$ [/mm] kein Vielfaches von 5 und die Folge rekursiv durch [mm] $a_{n+1}:=a_n+b_n$ [/mm] definiert, wobei [mm] $b_n$ [/mm] die letzte Ziffer von [mm] $a_n$ [/mm] ist. Man beweise: die Folge der [mm] $a_i$ [/mm] beinhaltet unendlich viele Zweierpotenzen.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:45 So 20.02.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo miteinander
Für [mm] $n\geq2$ [/mm] sind sicher alle [mm] $a_n$ [/mm] gerade und die letzte Ziffer ist nie 0. Wenn man sich jetzt die Folge Modulo 20 anschaut, so gibt es im wesentlichen 2 Möglichkeiten:
a) [mm] $\dots,\ [/mm] 2,\ 4,\ 8,\ 16,\ 2, [mm] \dots$ [/mm] und
b) [mm] $\dots, [/mm] 6,\ 12,\ 14,\ 18, \ 6, [mm] \dots$
[/mm]
zusätzlich gilt für [mm] $n\geq [/mm] 2$, dass [mm] $a_{n+4}=a_n+20$. [/mm] Man erhält daher alle solche Zahlen, die grösser gleich [mm] $a_2$ [/mm] sind.
Jetzt schauen wir uns die 2-er Potenzen Modulo 20 an:
$2,\ 4,\ 8,\ 16,\ 12,\ [mm] 4,\dots$. [/mm]
Auch diese Folge wird periodisch.
Fazit: Im Fall a) erhält man alle (bis auf endlich viele) 2-er Potenzen, die bei der Division durch 20 die Reste 4, 8, 16 haben. Im Fall b) erhält man alle (bis auf endlich viele) 2-er Potenzen, die bei der Division durch 20 den Rest 12 haben.
mfG Moudi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:50 Do 24.02.2005 | | Autor: | Christian |
Hmmm...
vielleicht vertu ich mich ja, aber meiner Ansicht nach ist bis jetzt nur gezeigt, daß die Folgenglieder und die Zweierpotenzen gleiche Reste beim Teilen durch 20 haben, und nicht, daß einige der Folgenglieder tatsächlich 2er-Potenzen sind.
Liebe Grüße,
Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:28 Do 24.02.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo Christian
Beachte auch, dass [mm] $a_{n+4}=a_n+20$. [/mm] Das heisst natürlich, dass man von [mm] $a_2$ [/mm] an alle Zahlen grösser gleich [mm] $a_2$ [/mm] bekommt, die bei der Division durch 20 den angegebenen Rest haben.
z.B. Sei [mm] $a_2=13478$, [/mm] es gilt dann [mm] $a_3=13486$, $a_4=13492$, [/mm] ... [mm] $a_8=13512$, [/mm] ... [mm] $a_{12}=13532$ [/mm] etc.
Jetzt ist klar, dass alle 2-er Potenzen, die bei der Division durch 20 den Rest 12 haben und grösser oder gleich 13478 sind, in der Folge vorkommen.
mfG Moudi
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