Aufgabe #109 (?),(INMO) < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 11:11 Mi 28.12.2005 | | Autor: | Hanno |
| Aufgabe | Für natürliches $n$ sei $f(n)$ die Anzahl der inkongruenten Dreiecke mit ganzzahligen Seitenlängen und Umfang $n$.
Man zeige: $f(1999)>f(1996)$, $f(2000)=f(1997)$. |
Viel Spaß!
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:43 Mi 28.12.2005 | | Autor: | moudi |
| Aufgabe | Für natürliches [mm]n[/mm] sei [mm]f(n)[/mm] die Anzahl der inkongruenten
Dreiecke mit ganzzahligen Seitenlängen und Umfang [mm]n[/mm].
Man zeige: [mm]f(1999)>f(1996)[/mm], [mm]f(2000)=f(1997)[/mm].
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Hallo Hanno
Die Anzahl inkongruenter Lösungen, ist die Anzahl aller positiven ganzzahligen Trippel (a, b, c) für die gilt:
i) $a+b+c=n$
ii) [mm] $a\geq b\geq [/mm] c$
iii) $b+c>a$ Dreiecksungleichung!
Ist $(a, b, c)$ eine Lösung von für $n$, so ist $(a+1, b+1, c+1)$ sicher eine Lösung für $n+3$, es gilt daher [mm] $f(n+3)\geq [/mm] f(n)$.
Umgekehrt, ist $(a, b, c)$ eine Lösung für $n+3$ mit $b+c>a+1$, dann ist $(a-1, b-1, c-1)$ eine Lösung für $n$.
(Es ist auch garantiert, dass $c>0$!)
Daraus folg, $f(n+3)=f(n)$ genau dann, wenn es keine Lösung von $n+3$ gibt mit $b+c=a+1$. In diesem Fall lassen sich die Lösungsmengen bijektiv aufeinander abbilden.
Ich untersuche nun allgemein, wenn es eine Lösung gibt für $n$ mit $b+c=a+1$.
Wegen [mm] $a+\underbrace{b+c}_{a+1}=n$ [/mm] gilt dann $2a+1=n$, d.h. $n$ ist ungerade. Ist umgekehrt, $n>1$ ungerade, dann setzt man [mm] $a=\frac{n-1}{2}$ [/mm] und es gibt sicher $b$ und $c$ mit $b+c=a+1$.
Daher $f(n)=f(n+3)$ genau dann, wenn $n+3$ gerade und daher $n$ ungerade.
$f(n)<f(n+3)$ genau dann, wenn $n+3$ ungerade und daher $n$ gerade.
mfG Moudi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:17 Di 03.01.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo Moudi.
So habe ich das auch gemacht, wunderbar! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Es wirkt zuerst ein wenig abschreckend, finde ich, nach kurzem Überlegen stellt man dann aber fest, dass es recht einfach ist. So kann man sich täuschen :)
Liebe Grüße,
Hanno
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