Aufgabe - Energiemethode < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 08:05 Do 26.06.2008 | | Autor: | Denny22 |
| Aufgabe | Löse das folgende AWP
[mm] $u_{xx}=-\lambda(u-u^3)$
[/mm]
$u(-1)=u(1)=0$
wobei [mm] $\lambda\in\IR$ [/mm] mit [mm] $\lambda>0$. [/mm] |
Hallo an alle,
irgendwie habe ich Schwierigkeiten bei der Berechnung dieser Aufgabe. Zum Lösen dieser Aufgabe gehe ich folgendermaßen vor:
zu 1) Bestimme die Nullstellen der rechten Seite
[mm] $-\lambda(u-u^3)=0\;\Longleftrightarrow\;u\in\{-1,0,1\}$
[/mm]
Dies liefert uns die stationären Lösungen (Ruhelagen) [mm] $u\equiv [/mm] -1$, [mm] $u\equiv [/mm] 0$ und [mm] $u\equiv [/mm] 1$.
zu 2) Bestimme die Stammfunktion der rechten Seite
[mm] $F(u)=\int -\lambda(u-u^3) du=-\lambda(\frac{1}{2}u^2-\frac{1}{4}u^4)$
[/mm]
zu 3) Löse die Energiegleichung [mm] $u_x^2=2F(u)+C_1$ [/mm] nach [mm] $u_x$ [/mm] auf
[mm] $u_x=\pm\sqrt{\lambda}\sqrt{C_1-u^2+\frac{1}{2}u^4}$
[/mm]
zu 4) Vorzeichen und 1. Integrationskonstante [mm] $C_1$ [/mm] den Anfangsbedingungen anpassen.
???
zu 5) Die Gleichung 3) durch Trennung der Variablen lösen
[mm] $t=\int\frac{1}{\pm\sqrt{\lambda}\sqrt{C_1-u^2+\frac{1}{2}u^4}}du+C_2$
[/mm]
zu 6) Eventuell nach u auflösen und [mm] $C_2$ [/mm] den Anfangsbedingungen anpassen
(???)
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Könnte mir vielleicht jemand bei 4), 5) und 6) unter die Arme greifen?
Danke und Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:26 Do 26.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Deine Anfangsbedingungen sind merkwürdig. u ist doch eine Funktion mit 2 Var. ??
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:42 Do 26.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Löse das folgende AWP
>
> [mm]u_{xx}=-\lambda(u-u^3)[/mm]
> [mm]u(-1)=u(1)=0[/mm]
>
> wobei [mm]\lambda\in\IR[/mm] mit [mm]\lambda>0[/mm].
Wieso ist das eine AWP? Das ist doch eher ein Randwertproblem.
> irgendwie habe ich Schwierigkeiten bei der Berechnung
> dieser Aufgabe. Zum Lösen dieser Aufgabe gehe ich
> folgendermaßen vor:
>
> zu 1) Bestimme die Nullstellen der rechten Seite
>
> [mm]-\lambda(u-u^3)=0\;\Longleftrightarrow\;u\in\{-1,0,1\}[/mm]
>
> Dies liefert uns die stationären Lösungen (Ruhelagen)
> [mm]u\equiv -1[/mm], [mm]u\equiv 0[/mm] und [mm]u\equiv 1[/mm].
>
> zu 2) Bestimme die Stammfunktion der rechten Seite
>
> [mm]F(u)=\int -\lambda(u-u^3) du=-\lambda(\frac{1}{2}u^2-\frac{1}{4}u^4)[/mm]
>
> zu 3) Löse die Energiegleichung [mm]u_x^2=2F(u)+C_1[/mm] nach [mm]u_x[/mm]
> auf
>
> [mm]u_x=\pm\sqrt{\lambda}\sqrt{C_1-u^2+\frac{1}{2}u^4}[/mm]
Da hast du kurzerhand [mm] $C_1\to \lambda C_1$ [/mm] umdefiniert. Ist aber letzten Endes OK.
> zu 4) Vorzeichen und 1. Integrationskonstante [mm]C_1[/mm] den
> Anfangsbedingungen anpassen.
Das Vorzeichen kannst du nicht festlegen, denn sowohl die DGL als auch die Anfangsbedingungen ändern sich beim Übergang von u nach -u nicht, das Problem und seine Lösung sind also spiegelsymmetrisch (beide Lösungen sind möglich). Daraus ergibt sich automatisch [mm] $u_x(-x)=-u_x(x)$.
[/mm]
Du kannst einfach eine der beiden Lösungen betrachten, wähle zum Beispiel das positive Vorzeichen.
Zu [mm] $C_1$. [/mm] Du hast doch $u(-1)=u(+1)=0$, also ist zunächst einmal
[mm] u_x(-1) =-u_x(1) = \wurzel{\lambda C_1} [/mm]
> zu 5) Die Gleichung 3) durch Trennung der Variablen lösen
>
> [mm]t=\int\frac{1}{\pm\sqrt{\lambda}\sqrt{C_1-u^2+\frac{1}{2}u^4}}du+C_2[/mm]
>
> zu 6) Eventuell nach u auflösen und [mm]C_2[/mm] den
> Anfangsbedingungen anpassen
Du kannst die Anfangsbedingungen direkt in die Integrationsgerenzen einfließen lassen:
[mm] \integral_{-1}^{t} \sqrt{\lambda} dx = \integral_{0}^{u} \frac{1}{\sqrt{C_1-u^2+\frac{1}{2}u^4}}du [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:54 Mi 02.07.2008 | | Autor: | Denny22 |
Hallo nochmals,
danke fuer die Hilfe. Eine Frage habe ich allerdings noch:
> Du kannst die Anfangsbedingungen direkt in die
> Integrationsgerenzen einfließen lassen:
>
> [mm]\integral_{-1}^{t} \sqrt{\lambda} dx = \integral_{0}^{u} \frac{1}{\sqrt{C_1-u^2+\frac{1}{2}u^4}}du[/mm]
Wie loese ich diese Gleichung nun nach u auf?
Danke schon mal fuer die Antwort.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:00 Do 03.07.2008 | | Autor: | Denny22 |
Ich (und Maple) wir sind der Meinung, dass man diese Gleichung nicht nach u aufloesen kann. Also betrachtet die Frage als beantwortet.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:20 So 29.06.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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