Aufgabe < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:22 Di 18.01.2005 | | Autor: | Ares1982 |
Hi @all,
ich komme bei einer Aufgabe nicht ganz weiter. Ich stell sie mal vor:
Radioaktiver Kohlenstoff C14 zerfällt nach der Gleichung m(t)=M*e^- [mm] \lambda*t. [/mm] Dabei ist m(t) Die Menge an C14 zur Zeit t und M die Mengen zur Zeit t=0. C14 hat eine Halbwertszeit von %730 Jahren, d.h. nach 5730 Jahren ist die Hälfte des Materials zerfallen. Sie haben zur Zeit t1,...,TN die Mengen m1,...,MN gemessen. Berechnen Sie [mm] \lambda [/mm] aus der bekannten Halbwertszeit und die Anfangsmenge M s der gemessenen Daten ( kleinste Quadrate!).
So, ich habe [mm] \lambda [/mm] rausbekommen, aber die Anfangsmenge macht mir schwierigkeiten. Ich habe dabei 2 Ansätze bekommen. 1. die Gleichung (mi [mm] -m(t))^2 [/mm] nach M zu differenzieren, abwer am ende steht da auch das mi und ich weiß nicht was ich damit machen soll.
2. cih habe die Gleichung zu einer Geradegleichung umgeformt und wollte die Koeffizienten ausrechen´, aber da komme ich auch mit den Summen, die dabei entstehen nicht ganz kjlar.
Welchen Weg würdet ihr mir empfehlen und was könnte beim ersten Lösungsansatz das mi ( das i im Index) denn sein.
Danke für die Hilfe!!!!!!!!!!
MFG
Ares
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:45 Mi 19.01.2005 | | Autor: | leduart |
> Hi @all,
> ich komme bei einer Aufgabe nicht ganz weiter. Ich stell
> sie mal vor:
>
> Radioaktiver Kohlenstoff C14 zerfällt nach der Gleichung
> m(t)=M*e^- [mm]\lambda*t.[/mm] Dabei ist m(t) Die Menge an C14 zur
> Zeit t und M die Mengen zur Zeit t=0. C14 hat eine
> Halbwertszeit von %730 Jahren, d.h. nach 5730 Jahren ist
> die Hälfte des Materials zerfallen. Sie haben zur Zeit
> t1,...,TN die Mengen m1,...,MN gemessen. Berechnen Sie
> [mm]\lambda[/mm] aus der bekannten Halbwertszeit und die
> Anfangsmenge M s der gemessenen Daten ( kleinste
> Quadrate!).
>
>
> So, ich habe [mm]\lambda[/mm] rausbekommen, aber die Anfangsmenge
> macht mir schwierigkeiten. Ich habe dabei 2 Ansätze
> bekommen. 1. die Gleichung (mi [mm]-m(t))^2[/mm] nach M zu
> differenzieren, abwer am ende steht da auch das mi und ich
> weiß nicht was ich damit machen soll.
> 2. cih habe die Gleichung zu einer Geradegleichung
> umgeformt und wollte die Koeffizienten ausrechen´,
Ich hoffe, du hast die Gl: ln(m(t)) -lnM = - [mm] \lambda*t
[/mm]
die [mm] m_{i} [/mm] sind die einzelnen Messwerte bei [mm] t_{i} [/mm] da es Messwerte sind liegen sie bzw [mm] ln(m_{i}) [/mm] natürlich nicht genau auf einer Geraden.
Man hat sich bei der Methode der kleinsten Quadrate darauf geeinigt ,die Gerade für die beste zu halten, von der die Summe der Quadrate der Abstande von der Meßpkt. zu der Geraden am kleinsten sind. also hier
[mm] \summe_{i=1}^{N}(ln(m(t) [/mm] - [mm] ln(m_{i}))^{2} [/mm] ein Minimum, d.h. Ableitung der Summe =0
setze für ln(m(t) = ln(M)- [mm] \lambda*t [/mm] ein und differenziere nach x=ln(M) und setze 0
es sollte rauskommen x = [mm] \bruch{ \summe_{i=1}^{N}ln(mi)+ \lambda*ti}{N}
[/mm]
Rechne bitte nach!
Hoffentlich hilft es. Wenn du reale Meßwerte hast, solltest du sie zur Kontrolle aufzeichnen am besten in logarithmischem Papier und deine Ergebnisse überprüfen
Gruss leduart
> komme ich auch mit den Summen, die dabei entstehen nicht
> ganz kjlar.
> Welchen Weg würdet ihr mir empfehlen und was könnte beim
> ersten Lösungsansatz das mi ( das i im Index) denn sein.
>
> Danke für die Hilfe!!!!!!!!!!
>
> MFG
>
> Ares
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:05 Mi 19.01.2005 | | Autor: | Ares1982 |
Hi,
danke für die Antwort. Hatte es auch ähnlich zuvor raus bekommen. Nur es war ja die Anfangsmasse M noch gefragt. Muss ich dann t=0 setzen, damit ich es habe?
Und ln(mi) bleibt da auch stehen?
Wir haben leider keine richtigen Zahlen.
Danke nochmals für die Antwort.
MFG ARes
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:03 Mi 19.01.2005 | | Autor: | Ares1982 |
Hi, hab nochmal nachgerechnet und es müsste für
x=ln(M)=1/(/lambda*t) + ln(mi)
raus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:16 Do 20.01.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Ares
Ich seh deine Rechnung nicht ein und halte meine für richtig,wenn du noch Zweifel hast schreib deinen Rechenweg auf.
Zu deiner Frage: mit x hast du doch lnM und damit M. in einer Graphik ist natürlich M der extrapolierte Wert bei t=0, aber den willst du ja gerade durch obige Methode bestimmen!
Gruß leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:25 Do 20.01.2005 | | Autor: | Ares1982 |
Hi Leduart,
ich habe leider die Aufgabe schon abgegeben. Ich werde meine Rechenschritte nächste Woche hier hinschreiben.
Deine Rechnung war glaube ich auch richtig, aber mit meiner bin ich aber überzeugt gewesen. Der korrekteur wird den Fehler wohl markieren. Was ich nicht hinbekommen hatte, was das 1/N. Ich weiß nicht, wie du das hinbekommen hast. ICh danke trotzdem für deine Hilfe, hast mir sehr geholfen. Bis denn!!!!!!!!!!!
Ares
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