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| Aufgabe | Prüfen Sie auf Konvergenz / Divergenz:
[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{(k!)^2}{(2k)!} [/mm] |
Hallo,
ich habe das Quotientenkriterium benutzt, also:
| [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n} [/mm] | Die Betragsstriche kann ich weglassen, da der Bruch stets positiv ist und bleibt.
Also( Doppelbruch direkt umgeformt bzw. anders aufgeschrieben)
[mm] \bruch{(k+1)^{2}}{(2(k+1))!} [/mm] * [mm] \bruch{(2k)!}{(k!)^{2}}
[/mm]
[mm] \bruch{(k+1)(k+1)}{(2k+2)(2k+1)!} [/mm] * [mm] \bruch{(2k)!}{k!*k!}
[/mm]
(2k+2) = 2(k+1)
[mm] \bruch{(k+1)(k+1)}{2(k+1)(2k+1)!} [/mm] * [mm] \bruch{(2k)!}{k!*k!}
[/mm]
kürzen
[mm] \bruch{k+1}{2(2k+1)!} [/mm] * [mm] \bruch{(2k)!}{k!*k!}
[/mm]
(2k+1)! = 2k! (2k+1)
[mm] \bruch{k+1}{2*2k!(2k+1)} [/mm] * [mm] \bruch{(2k)!}{k!*k!}
[/mm]
kürzen
[mm] \bruch{k+1}{2(2k+1)} [/mm] * [mm] \bruch{1}{k!*k!}
[/mm]
[mm] \bruch{k+1}{4k+2} [/mm] * [mm] \bruch{1}{k!*k!}
[/mm]
So, ab hier weiß ich nicht mehr weiter. Könnte mir jemand bitte einen Tipp geben?
Obwohl.. bei [mm] \bruch{1}{k!*k!} [/mm] und wenn k gegen unendlich geht, dann wird der zweite Bruch 0. Also ist es eine NUllfolge, also 0 <1 , also konvergent. Kann ich das hier schon annehmen, oder muss ich weiter umformen? Beim Umformen fällt mir leider nix mehr ein.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:15 Di 08.12.2015 | | Autor: | Loddar |
Hallo pc-doctor!
Dir sind leider ganz zu Anfang im Zähler des ersten Bruches die Fakultätszeichen bei [mm] $((k+1)\red{!})^2$ [/mm] verloren gegangen.
Dadurch sieht der weitere Term natürlich auch anders aus.
Gruß
Loddar
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Hallo,
danke. So ein Mist :D, also noch mal.
[mm] \bruch{((k+1)!)^2}{(2(k+1)!} [/mm] * [mm] \bruch{(2k)!}{(k!)^2}
[/mm]
[mm] \bruch{(k+1)! * (k+1)!}{(2k+2)(2k+1)!} [/mm] * [mm] \bruch{(2k)!}{(k!)^2}
[/mm]
[mm] \bruch{(k+1)k! * (k+1)k!}{(2k+2)*(2k+1)!} [/mm] * [mm] \bruch{(2k)!}{(k!)^2}
[/mm]
[mm] \bruch{(k+1)k! * (k+1)k!}{(2k+2)*(2k+1)!} [/mm] * [mm] \bruch{(2k)!}{k!*k!}
[/mm]
kürzen
[mm] \bruch{(k+1)(k+1)}{(2k+2)(2k+1)!} [/mm] * (2k)!
[mm] \bruch{(k+1)(k+1)}{2(k+1)*(2k+1)!} [/mm] * (2k)!
kürzen
[mm] \bruch{k+1}{2(2k+1)!} [/mm] * (2k)!
[mm] \bruch{k+1}{2(2k+1)*2k!} [/mm] * (2k)!
[mm] \bruch{k+1}{2(2k+1)}
[/mm]
[mm] \bruch{k+1}{4k+2}
[/mm]
[mm] \bruch{k(1+\bruch{1}{k})}{k(4+\bruch{2}{k})}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{4} [/mm] < 1
=> Die Reihe ist konvergent.
Ich hoffe, jetzt stimmt es.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:39 Di 08.12.2015 | | Autor: | pc_doctor |
Hallo,
alles klar, vielen Dank für die Antworten und Kontrolle.
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