Auf Diffbarkeit untersuchen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:08 Mo 11.06.2007 | | Autor: | peter_d |
| Aufgabe | [mm] $\text{In welchen Punkten }(a,b)\in\mathbb{R}^2\text{ ist}$
[/mm]
[mm] $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\quad\text{ def. durch }\quad f(x,y):=\left\{\begin{array}{rr}\dfrac{x^3}{\sqrt{x^2+y^2}}&\text{falls }(x,y)\not= (0,0)\\0&\text{falls }(x,y)=(0,0)\end{array}\right.$
[/mm]
[mm] $\text{differenzierbar?}$ [/mm] |
Hallo.
Ich habe so begonnen:
Da $f$ aus diffbaren Funktionen zusammengesetzt ist und der Nenner für [mm] $(x,y)\not= [/mm] (0,0)$ nicht null ist, ist $f$ für alle [mm] $(x,y)\not= [/mm] (0,0)$ diffbar.
Untersuchung auf Diff'barkeit im Punkte $(0,0)$:
(1) Ist $f$ in $(0,0)$ stetig?
[mm] $\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) [/mm] = [mm] \lim_{r\to 0}f(x=r*\cos\varphi, y=r*\sin\varphi) [/mm] = [mm] \dfrac{r^3*\cos^3\varphi}{|r|}$
[/mm]
Hier hapert es jetzt erstmal.
Eigentlich ist diese Funktion ja im Nullpunkt nicht definiert? Oder kann ich den Betrag trotzdem wegkürzen und sagen, dass der Limes dann $0$ ist und $f$ somit in $(0,0)$ stetig ist?
Wenn nicht, muss ich dann davon ausgehen, dass $f$ in $(0,0)$ nicht stetig und somit auch nicht diff'bar ist?
Wär gut, wenn mich mal einer aufklären könnte.
Gruß
Peter
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> [mm]\text{In welchen Punkten }(a,b)\in\mathbb{R}^2\text{ ist}[/mm]
>
> [mm]f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\quad\text{ def. durch }\quad f(x,y):=\left\{\begin{array}{rr}\dfrac{x^3}{\sqrt{x^2+y^2}}&\text{falls }(x,y)\not= (0,0)\\0&\text{falls }(x,y)=(0,0)\end{array}\right.[/mm]
>
> [mm]\text{differenzierbar?}[/mm]
> Hallo.
>
> Ich habe so begonnen:
>
> Da [mm]f[/mm] aus diffbaren Funktionen zusammengesetzt ist und der
> Nenner für [mm](x,y)\not= (0,0)[/mm] nicht null ist, ist [mm]f[/mm] für alle
> [mm](x,y)\not= (0,0)[/mm] diffbar.
>
> Untersuchung auf Diff'barkeit im Punkte [mm](0,0)[/mm]:
>
> (1) Ist [mm]f[/mm] in [mm](0,0)[/mm] stetig?
> [mm]\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) = \lim_{r\to 0}f(x=r*\cos\varphi, y=r*\sin\varphi) = \dfrac{r^3*\cos^3\varphi}{|r|}[/mm]
>
> Hier hapert es jetzt erstmal.
> Eigentlich ist diese Funktion ja im Nullpunkt nicht
> definiert?
Doch, doch: die Funktion [mm]f[/mm] ist im Punkt [mm](0,0)[/mm] schon definiert, ihr Wert wurde (etwas willkürlich vielleicht: aber das ist absolut zulässig) gleich [mm]0[/mm] festgelegt.
> Oder kann ich den Betrag trotzdem wegkürzen und
> sagen, dass der Limes dann [mm]0[/mm] ist und [mm]f[/mm] somit in [mm](0,0)[/mm]
> stetig ist?
Es ist richtig, dass Dein Limes für [mm]r\rightarrow 0+[/mm] existiert und gleich [mm]0[/mm] ist. - Und, ja: das heisst, [mm]f[/mm] ist auch an der Stelle [mm](0,0)[/mm] stetig. (Bem: Du musst nur den Limes für positive [mm]r[/mm] betrachten: das Vorzeichen von [mm]x,y[/mm] wird vom [mm]\cos\varphi[/mm] beigetragen. Somit ist also hier ohnehin [mm]|r|=r[/mm].)
> Wenn nicht, muss ich dann davon ausgehen, dass [mm]f[/mm] in [mm](0,0)[/mm]
> nicht stetig und somit auch nicht diff'bar ist?
Ja klar: wenn [mm]f[/mm] an der Stelle [mm](0,0)[/mm] nicht stetig wäre (was aber nicht zutrifft), dann wäre [mm]f[/mm] natürlich dort auch nicht differenzierbar (wenn meine Oma Räder hätte, dann ...)
>
> Wär gut, wenn mich mal einer aufklären könnte.
Nun, nachdem Du Dich davon überzeugt hast, dass [mm]f[/mm] auch an der Stelle [mm](0,0)[/mm] stetig ist, musst Du also noch prüfen, ob [mm]f[/mm] dort sogar differenzierbar ist (Du hättest natürlich auch gleich die Differenzierbarkeit ins Visier nehmen können...)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:36 Mo 11.06.2007 | | Autor: | peter_d |
Gut, danke schon mal für die Antwort.
Dann machen wir mal weiter 
[mm] $\text{\underline{Variante (1)}}$
[/mm]
Ist f in (0,0) partiell diff'bar?
Ja, grad f(0,0) = (0,0), denn
[mm] $f_x(0,0) [/mm] = [mm] \lim_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{f(x,0)-f(0,0)}{x} [/mm] = [mm] x^2 [/mm] = 0$
Ebenso [mm] $f_y(0,0) [/mm] = 0$
Sind die partiellen Ableitungen von f in (0,0) stetig?
[mm] $f_x(x,y) [/mm] = [mm] \dfrac{x^2(2x^2+3y^2)}{\sqrt{(x^2+y2^)^3}}$ [/mm] für [mm] $(x,y)\not=0$
[/mm]
[mm] $\lim_{(x,y)\to(0,0)}f_x(x,y) [/mm] = [mm] \lim_{r\to0} r*\cos^2\varphi*(2*\cos^2\varphi+3*\sin^2\varphi) [/mm] = 0$
und
[mm] $\lim_{(x,y)\to(0,0)}f_x(x,y) [/mm] = [mm] \lim_{r\to0}r^2*\cos^3\varphi*\sin\varphi [/mm] = 0$
=> f ist in (0,0) diff'bar
[mm] $\text{\underline{Variante (2)}}$
[/mm]
Ich geh' gleich auf die Definition zurück:
[mm] $\lim_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{\dfrac{x^3}{\sqrt{x^2+y^2}}-f(0,0)-f_x(0,0)-f_y(0,0)}{|(x,y)|}$
[/mm]
$= [mm] \lim_{r\to0}\dfrac{\dfrac{r^3*\cos^3\varphi}{r}}{r}=r\cos^3\varphi [/mm] = 0$
=> Limes existiert, also ist f im Nullpunkt diff'bar.
Mit dem Krams von vorhin folgt dann, dass f überall diff'bar ist.
Kann man das so machen? Sind beide Varianten richtig?
Gruß
Peter
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> Gut, danke schon mal für die Antwort.
> Dann machen wir mal weiter
>
> [mm]\text{\underline{Variante (1)}}[/mm]
>
> Ist f in (0,0) partiell diff'bar?
> Ja, grad f(0,0) = (0,0), denn
> [mm]f_x(0,0) = \lim_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{f(x,0)-f(0,0)}{x} = x^2 = 0[/mm]
>
> Ebenso [mm]f_y(0,0) = 0[/mm]
>
> Sind die partiellen Ableitungen von f in (0,0) stetig?
> [mm]f_x(x,y) = \dfrac{x^2(2x^2+3y^2)}{\sqrt{(x^2+y2^)^3}}[/mm] für
> [mm](x,y)\not=0[/mm]
> [mm]\lim_{(x,y)\to(0,0)}f_x(x,y) = \lim_{r\to0} r*\cos^2\varphi*(2*\cos^2\varphi+3*\sin^2\varphi) = 0[/mm]
>
> und
> [mm]\lim_{(x,y)\to(0,0)}f_x(x,y) = \lim_{r\to0}r^2*\cos^3\varphi*\sin\varphi = 0[/mm]
>
> => f ist in (0,0) diff'bar
>
> [mm]\text{\underline{Variante (2)}}[/mm]
> Ich geh' gleich auf die
> Definition zurück:
>
> [mm]\lim_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{\dfrac{x^3}{\sqrt{x^2+y^2}}-f(0,0)-f_x(0,0)-f_y(0,0)}{|(x,y)|}[/mm]
> [mm]= \lim_{r\to0}\dfrac{\dfrac{r^3*\cos^3\varphi}{r}}{r}=r\cos^3\varphi = 0[/mm]
>
> => Limes existiert, also ist f im Nullpunkt diff'bar.
>
> Mit dem Krams von vorhin folgt dann, dass f überall
> diff'bar ist.
>
> Kann man das so machen? Sind beide Varianten richtig?
Also in beiden Fällen verwendest Du, richtigerweise, dass im Punkt [mm](0,0)[/mm] die partiellen Ableitungen [mm]f_x, f_y[/mm] existieren und stetig sind: daraus folgt, dass [mm]f[/mm] im Punkt [mm](0,0)[/mm] diff'bar ist, wie Du offenbar weisst.
Der Weg mit der Richtungsableitung, der [mm]f'(x,y)[/mm] auf die Form [mm]r\cos^3(\varphi)[/mm] bringt, ist bei dieser Funktion, denke ich, einfacher. Als Spezialfälle sind die partiellen Ableitungen [mm]f_x, f_y[/mm] ja in der Richtungsableitung enthalten.
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