Asymptotisches Verhalten < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie das asymptotische Verhalten für x [mm] \rightarrow \pm \infty.
[/mm]
$f(x) = [mm] \wurzel{(x-2)^{2} + 1} [/mm] $ |
Was bedeutet asymptotisches Verhalten?
Kann ich das einfach so schreiben?:
[mm] \limes_{x\rightarrow \infty} [/mm] f(x) = [mm] \wurzel{(x-2)^{2} + 1} [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
Oder wie gehe ich sowas an?
Vielen Dank im Voraus!
Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:36 So 09.01.2011 | | Autor: | abakus |
> Bestimmen Sie das asymptotische Verhalten für x
> [mm]\rightarrow \pm \infty.[/mm]
> [mm]f(x) = \wurzel{(x-2)^{2} + 1}[/mm]
> Was
> bedeutet asymptotisches Verhalten?
>
> Kann ich das einfach so schreiben?:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow \infty}[/mm] f(x) = [mm]\wurzel{(x-2)^{2} + 1}[/mm]
> = [mm]\infty[/mm]
>
> Oder wie gehe ich sowas an?
Hallo,
mit wachsendem x geht die Funktion fast in eine Gerade über, sie nähert sich also einer bestimmten Geraden gaaaaanz eng an.
Welche Gerade ist das hier?
Gruß Abakus
>
> Vielen Dank im Voraus!
>
> Lg
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Die Funktion sieht aus wie eine Parabel und mit steigendem x sieht die Gerade aus wie eine lineare Funktion?
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:48 So 09.01.2011 | | Autor: | abakus |
> Die Funktion sieht aus wie eine Parabel und mit steigendem
> x sieht die Gerade aus wie eine lineare Funktion?
Hallo,
wenn du im Term das "+1" weglassen würdest, hätte das für große x nur einen verschwindend geringen Einfluss auf die Größe des Funktionswertes.
Gruß Abakus
>
> Lg
>
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Stimmt und das -2 ebenso.
Da sich das Quadrat und die Wurzel aufheben, kann ich für [mm] x\rightarrow \infty [/mm] die Funktion näherungsweise als f(x) = x beschreiben oder?
Und für [mm] -\infty [/mm] verhält sie sich gleich.
Hab ich das richtig verstanden?
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:05 So 09.01.2011 | | Autor: | abakus |
> Stimmt und das -2 ebenso.
> Da sich das Quadrat und die Wurzel aufheben, kann ich für
> [mm]x\rightarrow \infty[/mm] die Funktion näherungsweise als f(x) =
> x beschreiben oder?
> Und für [mm]-\infty[/mm] verhält sie sich gleich.
> Hab ich das richtig verstanden?
Nicht ganz. Lass mal die -2 drin.
[mm] \wurzel{(x-2)^2} [/mm] kann hier zu x-2 vereinfacht werden. Also nähert sich der Graph (vermutlich) an y=x-2 an.
Zu zeigen ist nun noch: [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}(\wurzel{(x-2)^2+1}-(x+2)) [/mm] =0
Gruß Abakus
>
> Lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:08 So 09.01.2011 | | Autor: | abakus |
> > Stimmt und das -2 ebenso.
> > Da sich das Quadrat und die Wurzel aufheben, kann ich
> für
> > [mm]x\rightarrow \infty[/mm] die Funktion näherungsweise als f(x) =
> > x beschreiben oder?
> > Und für [mm]-\infty[/mm] verhält sie sich gleich.
> > Hab ich das richtig verstanden?
> Nicht ganz. Lass mal die -2 drin.
> [mm]\wurzel{(x-2)^2}[/mm] kann hier zu x-2 vereinfacht werden. Also
> nähert sich der Graph (vermutlich) an y=x-2 an.
> Zu zeigen ist nun noch:
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}(\wurzel{(x-2)^2+1}-(x+2))[/mm] =0
> Gruß Abakus
Nachtrag:
Beachte auch, dass für negative x nicht gilt [mm]\wurzel{(x-2)^2}[/mm]= x-2 ,
sondern [mm]\wurzel{(x-2)^2}[/mm] =-(x-2).
> >
> > Lg
>
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Ah ok danke.
Hier erhalte ich dann die unbestimmte Form [mm] \infty [/mm] - [mm] \infty [/mm] und ich muss die Regel von l`Hopital anwenden oder irre ich mich?
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:32 So 09.01.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo dreamweaver!
De 'Hospital hilft Dir nur bei Brüchen weiter. Denn hast Du hier nicht ...
Um aber den Grenzwert zu ermitteln, solltest Du den Ausdruck mit [mm]\left[ \ \wurzel{(x-2)^2+1} \ \red{+} \ (x-2)\right][/mm] erweitern.
Gruß
Loddar
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Wieso kommt hier ein + statt einem -?
$ [mm] \left[ \ \wurzel{(x-2)^2+1} \ \red{+} \ (x-2)\right] [/mm] $
Meinst du so erweitern?
[mm] \bruch{(\wurzel{(x-2)^2+1} - (x-2))\cdot (\wurzel{(x-2)^2+1)} + (x-2))}{\wurzel{(x-2)^2+1)} + (x-2)} [/mm] und dann die Regel von l'Hopital anwenden?
Lg
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> Wieso kommt hier ein + statt einem -?
damit man im zähler ein drittes binom erhält!
> [mm]\left[ \ \wurzel{(x-2)^2+1} \ \red{+} \ (x-2)\right][/mm]
>
> Meinst du so erweitern?
genau so
>
> [mm]\bruch{(\wurzel{(x-2)^2+1} - (x-2))\cdot (\wurzel{(x-2)^2+1)} + (x-2))}{\wurzel{(x-2)^2+1)} + (x-2)}[/mm]
> und dann die Regel von l'Hopital anwenden?
ne die brauchst du nicht, ausklammern der höchsten potenz in zähler und nenner reicht, anschließend kürzen
>
> Lg
gruß tee
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Danke für deine Antwort, aber es tut mir leid, ich steh auf der Leitung.
Soll ich den Zähler erst ausmultiplizieren? Oder kann ich die Wurzel rausheben und dann kürzen? Was meinst du mit höchster Potenz herausheben?
Sorry für die vielen Fragen.
Lg
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> Danke für deine Antwort, aber es tut mir leid, ich steh
> auf der Leitung.
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> Soll ich den Zähler erst ausmultiplizieren? Oder kann ich
> die Wurzel rausheben und dann kürzen? Was meinst du mit
> höchster Potenz herausheben?
die schritte sind wohl doch nicht nötig, siehe unten
>
> Sorry für die vielen Fragen.
>
> Lg
mal ein beispiel
[mm] \sqrt{x^2+2}-x=(\sqrt{x^2+2}-x)*\frac{\sqrt{x^2+2}+x}{\sqrt{x^2+2}-x} [/mm] nun ist im zähler ein 3. binom [mm] (a+b)*(a-b)=a^2-b^2, [/mm] es ergibt sich nun
[mm] \frac{x^2+2-x^2}{\sqrt{x^2+2}+x}=\frac{2}{x(\sqrt{1+\frac{2}{x^2}}+1)}
[/mm]
und jetzt x gegen [mm] \infty [/mm] laufen lassen, was kommt raus?
gruß tee
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> [mm]\sqrt{x^2+2}-x=(\sqrt{x^2+2}-x)*\frac{\sqrt{x^2+2}+x}{\sqrt{x^2+2}-x}[/mm]
> nun ist im zähler ein 3. binom [mm](a+b)*(a-b)=a^2-b^2,[/mm] es
> ergibt sich nun
>
> [mm]\frac{x^2+2-x^2}{\sqrt{x^2+2}+x}=\frac{2}{x(\sqrt{1+\frac{2}{x^2}}+1)}[/mm]
Natürlich -.- . Aber kommt im Nenner nicht -x statt +x?
Es kommt [mm] \bruch{2}{\infty} [/mm] raus, hat also den Grenzwert 0.
Es ist also egal, ob ich x gegen + oder - [mm] \infty [/mm] laufen lass, der Grenzwert bleibt 0 oder?
>
> und jetzt x gegen [mm]\infty[/mm] laufen lassen, was kommt raus?
>
> gruß tee
>
Dann hab ich in meinem Fall folgendes:
[mm] \limes_{x\rightarrow \pm \infty} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{(x-2)^{2} + 1} + x - 2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\infty} [/mm] = 0
Stimmts so?
Lg
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> >
> [mm]\sqrt{x^2+2}-x=(\sqrt{x^2+2}-x)*\frac{\sqrt{x^2+2}+x}{\sqrt{x^2+2}-x}[/mm]
hier hab ich mich beim erweitern verschrieben. im nenner muss +x stehen, gerechnet habe ich aber weiter richtig
> > nun ist im zähler ein 3. binom [mm](a+b)*(a-b)=a^2-b^2,[/mm] es
> > ergibt sich nun
> >
> >
> [mm]\frac{x^2+2-x^2}{\sqrt{x^2+2}+x}=\frac{2}{x(\sqrt{1+\frac{2}{x^2}}+1)}[/mm]
>
> Natürlich -.- . Aber kommt im Nenner nicht -x statt +x?
>
> Es kommt [mm]\bruch{2}{\infty}[/mm] raus, hat also den Grenzwert 0.
>
> Es ist also egal, ob ich x gegen + oder - [mm]\infty[/mm] laufen
> lass, der Grenzwert bleibt 0 oder?
>
> >
> > und jetzt x gegen [mm]\infty[/mm] laufen lassen, was kommt raus?
> >
> > gruß tee
> >
>
> Dann hab ich in meinem Fall folgendes:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow \pm \infty}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{(x-2)^{2} + 1} + x - 2}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{\infty}[/mm] = 0
>
> Stimmts so?
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Lg
>
gruß tee
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Vielen Dank für die Geduld!!
Lg
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:33 Mo 10.01.2011 | | Autor: | jooo |
Hab mir die Aufgabe aus spaß auch mal angeschaut
Verstehe jedoch nicht wie du hier
[mm] \frac{x^2+2-x^2}{\sqrt{x^2+2}+x}=\frac{2}{x(\sqrt{1+\frac{2}{x^2}}+1)}
[/mm]
auf den Ausdruck im Nenner kommst! Du klammerst doch nur x aus oder?
Gruß jooo
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:26 Mo 10.01.2011 | | Autor: | fred97 |
[mm] $\wurzel{x^2+2}= \wurzel{x^2(1+2/x^2)}= \wurzel{x^2}*\wurzel{1+2/x^2}= x*\wurzel{1+2/x^2}$ [/mm] (x>0)
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:49 Mo 10.01.2011 | | Autor: | jooo |
wäre es da nicht besser wenn man x als Betrag schreibt
[mm] \wurzel{x^2+2}= \wurzel{x^2(1+2/x^2)}= \wurzel{x^2}\cdot{}\wurzel{1+2/x^2}= |x|\cdot{}\wurzel{1+2/x^2} [/mm]
da ja negative ausdrücke grundsätzlich erlaubt sind?oder?
Gruß jooo
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:56 Mo 10.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> wäre es da nicht besser wenn man x als Betrag schreibt
> [mm]\wurzel{x^2+2}= \wurzel{x^2(1+2/x^2)}= \wurzel{x^2}\cdot{}\wurzel{1+2/x^2}= |x|\cdot{}\wurzel{1+2/x^2}[/mm]
>
> da ja negative ausdrücke grundsätzlich erlaubt
> sind?oder?
ja
FRED
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> Gruß jooo
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