Asymptotischer Mittelwert und < Statistik (Anwend.) < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:13 Mo 26.11.2012 | | Autor: | anna.pol |
| Aufgabe | [mm] a_{i}, [/mm] i = 1,2 ... sind i.i.d. Zufallsvektoren mit dem Mittelwert [mm] \mu.
[/mm]
Gesucht ist die asymptotische Verteilung (asymptotischer Mittelwert und Varianz) für [mm] b_{n} [/mm] = [mm] 1/\wurzel{n} \summe_{i=1}^{n} a_{i}. [/mm] |
Ich habe mich an der Lösung versucht und komme zu folgenden Resultat:
[mm] \overline{b_n} [/mm] = [mm] E(b_{n}) [/mm] = [mm] E(1/\wurzel{n} \summe_{i=1}^{n} a_{i})
[/mm]
= [mm] 1/\wurzel{n} \summe_{i=1}^{n} E(a_{i})
[/mm]
= [mm] 1/\wurzel{n} \summe_{i=1}^{n} \mu
[/mm]
= [mm] n*\mu/\wurzel{n}
[/mm]
Stimmt den dieses Vorgehen oder müsste ich nicht eher noch den Mittelwert von [mm] b_{n} [/mm] bilden, dass man quasi eine Doppelsumme hätte und die dann umformt?
Bei der Varianz komme ich nicht so recht weiter, vielleicht:
[mm] var(b_n) [/mm] = var [mm] (1/\wurzel{n} \summe_{i=1}^{n} a_i)
[/mm]
= 1/n var [mm] (\summe_{i=1}^{n} a_i)
[/mm]
Vorausgesetzt der Ansatz stimmt, wie kann das weiter vereinfacht werden?
Danke für hilfreiche Hinweise.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:39 Mo 26.11.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin anna.pol
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
>
> = [mm]n*\mu/\wurzel{n}[/mm]
>
> Stimmt den dieses Vorgehen oder müsste ich nicht eher noch
> den Mittelwert von [mm]b_{n}[/mm] bilden, dass man quasi eine
> Doppelsumme hätte und die dann umformt?
Du hast korrekt gerechnet, doch ergibt sich in der Konsequenz [mm]\sqrt{n}*\mu[/mm]. Dieser Ausdruck divergiert jedoch im allgemeinen, so dass keine asymptotische Verteilung existiert.
Ich vermute einen Fehler in der Aufgabenstellung.
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:04 Mo 26.11.2012 | | Autor: | anna.pol |
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:45 Mo 26.11.2012 | | Autor: | anna.pol |
| Aufgabe | | [mm] b_n=\bruch{1}{\wurzel{n}}*\summe_{i=1}^{n} a_i [/mm] |
Hallo,
leider ist tatsächlich ein Fehler in der Aufgabenstellung, zu später Stunde bin ich etwas unglücklich mit dem Bruchstich umgegangen.
Richtig lautet die Summe nämlich [mm] b_n=\bruch{1}{\wurzel{n}}*\summe_{i=1}^{n} a_i
[/mm]
Daher kam ich wohl auch auf [mm] n\mu/\wurzel{n}
[/mm]
Luis52 oder liebe andere Mitglieder, könnten sie vielleicht noch mal einen Blick riskieren.
Danke!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:48 Mo 26.11.2012 | | Autor: | luis52 |
> [mm]b_n=\bruch{1}{\wurzel{n}}*\summe_{i=1}^{n} a_i[/mm]
> Hallo,
>
> leider ist tatsächlich ein Fehler in der Aufgabenstellung,
> zu später Stunde bin ich etwas unglücklich mit dem
> Bruchstich umgegangen.
>
> Richtig lautet die Summe nämlich
> [mm]b_n=\bruch{1}{\wurzel{n}}*\summe_{i=1}^{n} a_i[/mm]
Die Aufgabenstellung ist dieselbe und deine Rechnung bleibt bestehen. Die asymptotische Verteilung existert nicht, da der Erwartungswertevektor divergiert.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:05 Mo 26.11.2012 | | Autor: | anna.pol |
Hallo luis 52,
danke für die prompte Antwort.
"Dieser Ausdruck divergiert jedoch im allgemeinen, so dass keine asymptotische Verteilung existiert" - das liegt daran, dass der asymptotische Mittelwert noch von n abhängt, oder?
Eine Varianz könnte ich gar nicht berechnen?
Anders dürfte es allerdings aussehen, wenn ich die Aufgabenstellung so abändern würde, dass = Dann erhalte ich ja als asymptotischen Mittelwert nur Doch welchen Ansatz würde ich dann für die asymptotische Varianz verwenden.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:49 Mo 26.11.2012 | | Autor: | luis52 |
> Hallo luis 52,
>
> danke für die prompte Antwort.
>
> "Dieser Ausdruck divergiert jedoch im allgemeinen, so dass
> keine asymptotische Verteilung existiert" - das liegt
> daran, dass der asymptotische Mittelwert noch von n
> abhängt, oder?
Nicht der asymptische E-Wert, sonder die Folge von Erwartungswerten.
> Eine Varianz könnte ich gar nicht berechnen?
Ebenfalls ja, weil der E-Wert nicht existiert, was fuer die Bestimmung der Varianz vorausgesetzt wird.
>
> Anders dürfte es allerdings aussehen, wenn ich die
> Aufgabenstellung so abändern würde, dass = Dann erhalte
> ich ja als asymptotischen Mittelwert nur Doch welchen
> Ansatz würde ich dann für die asymptotische Varianz
> verwenden.
Das ist mir unverstaendlich.
Man koennte nochmal nachdenken, wenn [mm] $\frac{1}{n}\sum a_i$ [/mm] zur Diskussion stuende (aber auch hier existiert keine asymptotische Varianz).
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:07 Mo 26.11.2012 | | Autor: | anna.pol |
Danke Luis, ich habe mir das noch mal angesehen. Leider ist es mir immer noch nicht völlig klar:
Der asymptotische Mittelwert ist für mich folgender:
[mm] \overline{b_n} [/mm] = [mm] E(b_{n}) [/mm] = [mm] E(\bruch{1}{\wurzel{n}} \summe_{i=1}^{n} a_{i})
[/mm]
= [mm] 1/\wurzel{n} [/mm] * [mm] \summe_{i=1}^{n} E(a_{i})
[/mm]
= [mm] 1/\wurzel{n} \summe_{i=1}^{n} \mu
[/mm]
= [mm] \bruch{n*\mu}{\wurzel{n}}
[/mm]
Dieser Ausdruck divergiert, weil die Folge von Erwartungswerten noch von n abhängt, d.h. für jedes Ausprägung von n erhalte ich einen anderen Mittelwert. (Es gibt also keinen asympotischen Mittelwert?). Auch den Wert [mm] \bruch{n*\mu}{\wurzel{n}} [/mm] kann ich nicht zur Schätzung der Varianz heranziehen?
Alternativ nun die asymptotische Verteilung von [mm] \bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} a_{i}
[/mm]
[mm] \overline{b_n} [/mm] = [mm] E(b_{n}) [/mm] = [mm] E(\bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} a_{i})
[/mm]
= 1/n * [mm] \summe_{i=1}^{n} E(a_{i})
[/mm]
= 1/n* [mm] \summe_{i=1}^{n} \mu
[/mm]
= [mm] \bruch{n*\mu}{n} =\mu [/mm]
Und nun zur Varianz:
[mm] var(b_n) [/mm] = var [mm] (\bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} a_i)
[/mm]
= 1/n * var [mm] (\summe_{i=1}^{n} a_i)
[/mm]
Könnte man das nicht mit der üblichen Varianzformel weiter umformen?
Nochmals danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:09 Mo 26.11.2012 | | Autor: | anna.pol |
Leider habe ich dies nur als Mitteilung geschrieben:
Danke Luis, ich habe mir das noch mal angesehen. Leider ist es mir immer noch nicht völlig klar:
Der asymptotische Mittelwert ist für mich folgender:
[mm] \overline{b_n} [/mm] = [mm] E(b_{n}) [/mm] = [mm] E(\bruch{1}{\wurzel{n}} \summe_{i=1}^{n} a_{i})
[/mm]
= [mm] 1/\wurzel{n} [/mm] * [mm] \summe_{i=1}^{n} E(a_{i})
[/mm]
= [mm] 1/\wurzel{n} \summe_{i=1}^{n} \mu
[/mm]
= [mm] \bruch{n*\mu}{\wurzel{n}}
[/mm]
Dieser Ausdruck divergiert, weil die Folge von Erwartungswerten noch von n abhängt, d.h. für jedes Ausprägung von n erhalte ich einen anderen Mittelwert. (Es gibt also keinen asympotischen Mittelwert?). Auch den Wert [mm] \bruch{n*\mu}{\wurzel{n}} [/mm] kann ich nicht zur Schätzung der Varianz heranziehen?
Alternativ nun die asymptotische Verteilung von [mm] \bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} a_{i}
[/mm]
[mm] \overline{b_n} [/mm] = [mm] E(b_{n}) [/mm] = [mm] E(\bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} a_{i})
[/mm]
= 1/n * [mm] \summe_{i=1}^{n} E(a_{i})
[/mm]
= 1/n* [mm] \summe_{i=1}^{n} \mu
[/mm]
= [mm] \bruch{n*\mu}{n} =\mu [/mm]
Und nun zur Varianz:
[mm] var(b_n) [/mm] = var [mm] (\bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} a_i)
[/mm]
= 1/n * var [mm] (\summe_{i=1}^{n} a_i)
[/mm]
Könnte man das nicht mit der üblichen Varianzformel weiter umformen?
Nochmals danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:09 Mo 26.11.2012 | | Autor: | luis52 |
> Leider habe ich dies nur als Mitteilung geschrieben:
>
> Danke Luis, ich habe mir das noch mal angesehen. Leider ist
> es mir immer noch nicht völlig klar:
>
> Der asymptotische Mittelwert ist für mich folgender:
>
> [mm]\overline{b_n}[/mm] = [mm]E(b_{n})[/mm] = [mm]E(\bruch{1}{\wurzel{n}} \summe_{i=1}^{n} a_{i})[/mm]
>
> = [mm]1/\wurzel{n}[/mm] * [mm]\summe_{i=1}^{n} E(a_{i})[/mm]
> = [mm]1/\wurzel{n} \summe_{i=1}^{n} \mu[/mm]
>
> = [mm]\bruch{n*\mu}{\wurzel{n}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
>
> Dieser Ausdruck divergiert, weil die Folge von
> Erwartungswerten noch von n abhängt, d.h. für jedes
> Ausprägung von n erhalte ich einen anderen Mittelwert.
Dass die Folge von $n_$ abhaengt, ist nicht der springende Punkte. Angenommen, $\mu$ hat zwei Komponenten, sagen wir $\mu=(\mu_1,\mu_2)$. Dann ist $\sqrt{n}{\mu=(\sqrt{n}\mu_1,\sqrt{n}\mu_2)$. Wegen $|\sqrt{n}\mu_j|\to \infty$ fuer $\mu_j\ne0$ existiert der Grenzwert nicht,
> (Es > gibt also keinen asympotischen Mittelwert?).
Ja, aber besser Erwartungsvertevektor.
> Auch den Wert
> [mm]\bruch{n*\mu}{\wurzel{n}}[/mm] kann ich nicht zur Schätzung der
> Varianz heranziehen?
Du kannst nichts schaetzen, was nicht existiert.
>
>
> Alternativ nun die asymptotische Verteilung von
> [mm]\bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} a_{i}[/mm]
>
> [mm]\overline{b_n}[/mm] = [mm]E(b_{n})[/mm] = [mm]E(\bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} a_{i})[/mm]
>
> = 1/n * [mm]\summe_{i=1}^{n} E(a_{i})[/mm]
> = 1/n* [mm]\summe_{i=1}^{n} \mu[/mm]
>
> = [mm]\bruch{n*\mu}{n} =\mu[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
> Und nun zur Varianz:
> [mm]var(b_n)[/mm] = var [mm](\bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} a_i)[/mm]
> = 1/n
> * var [mm](\summe_{i=1}^{n} a_i)[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") [mm]var(b_n)= var(\bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} a_i)
= 1/n^\red{2}* var(\summe_{i=1}^{n} a_i)[/mm]
> Könnte man das nicht mit der
> üblichen Varianzformel weiter umformen?
Ja.
vg Luis
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