Asymptotengleichung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:40 Mi 23.06.2004 | | Autor: | ziska |
okay, die frage ist etwas umfassender als im betreff eingegeben.
1.) gegeben war die Funktion:
f(x) =[mm] \frac{tx²}{x²-4}[/mm]
Nun weiß ich nicht, wie ich die Asymptotengleichungen bestimme. Kann mir da jemand helfen?
2.frage dazu: Wie finde ich heraus, durch welchen punkt alle graphen verlaufen?
2.) Bei dieser Gleichung bekomme ich die Wendepunktbestimmung nicht hin.
gegeben: f(x) =[mm] \frac{4}{1+tx²}[/mm]
Die Ableitungen:
f`(x) =[mm] \frac{-8tx}{(1+tx²)²}[/mm]
f``(x) = [mm] \frac{-8t -48t²x²-8t³x²x²- 32t³x³}{(1+tx²)²*(1+tx²)²}[/mm]
Entweder ist mir bei den Ableitungen ein Fehler unterlaufen oder ich steh mir auf dem Schlauch. Kann jemand mir auch in diesem Fall weiterhelfen?
Ich hab nämlich jetzt Probleme, wenn ich die 2.Ableitung gleich 0 setze (für die Wendepunktbestimmung).
Die asymptotengleichungen brauch ich danach auch noch, aber wenn ich die anhand der anderen aufgabe erklärt bekäme, müsste ich das dann allein hinbekommen.
Danke im Voraus an alle, die sich hiermit auseinander setzen!
LG,
ziska
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:57 Mi 23.06.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo ziska
ich beginne, wenn es dir recht ist, erstmals mit der 2. Aufgabe
> 2.) Bei dieser Gleichung bekomme ich die
> Wendepunktbestimmung nicht hin.
> gegeben: f(x) =[mm] \frac{4}{1+tx²}[/mm]
>
> Die Ableitungen:
> f`(x) =[mm] \frac{-8tx}{(1+tx²)²}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Das habe ich auch raus!
> f``(x) = [mm]\frac{-8t -48t²x²-8t³x²x²- 32t³x³}{(1+tx²)²*(1+tx²)²}[/mm]
>
>
> Entweder ist mir bei den Ableitungen ein Fehler unterlaufen
> oder ich steh mir auf dem Schlauch. Kann jemand mir auch in
> diesem Fall weiterhelfen?
Ja, ich denke irgendwo ist dir ein Fehler unterlaufen.
Ich rechne es einfach mal vor. wenn du dann irgendwo eine Frage hast, dann meldest du dich einfach wieder. OK?
$f(x) = [mm] \frac{4}{1+tx^2}$
[/mm]
$f'(x) = [mm] \frac{-8tx}{(1+tx^{2})^2}$
[/mm]
[mm] $f''(x)=\bruch{-8t(1+tx^{2})^{2}+8tx * 2(1+tx^{2}) * 2tx}{(1+tx^{2})^4}$
[/mm]
[mm] $f''(x)=\bruch{(1+tx^{2})(-8t(1+tx^{2})+8tx * 2 * 2tx)}{(1+tx^{2})^4}$
[/mm]
[mm] $f''(x)=\bruch{-8t(1+tx^{2})+32t^{2}x^{2}}{(1+tx^{2})^3}$
[/mm]
[mm] $f''(x)=\bruch{-8t((1+tx^{2})-4tx^{2})}{(1+tx^{2})^3}$
[/mm]
[mm] $f''(x)=\bruch{-8t(1-3tx^{2})}{(1+tx^{2})^3}$
[/mm]
Mit lieben Grüssen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 Do 24.06.2004 | | Autor: | ziska |
okay, ich hab die Ableitung nochmals nachgerechnet und bin auf den Fehler gestoßen! Danke!
nun hänge ich an der Wendepunktbestimmung....
Ich habe zunächst die 2.ableitung =0 gesetzt und habe dort
[mm] x_1=[/mm] [mm]\bruch{1}{\wurzel{3t}}[/mm] und [mm] x_2= [/mm] - [mm]\bruch{1}{\wurzel{3t}}[/mm] rausbekommen.
Nun möchte ich mit Hilfe des Vorzeichenwechselkriteriums überprüfen, ob an dieser Stelle ein Wendepunkt vorliegt. Mein total banales Problem:
1 > [mm]\bruch{1}{\wurzel{3t}}[/mm] und -1< - [mm]\bruch{1}{\wurzel{3t}}[/mm]
Aber welche Zahlen eignen sich am Besten für die Probe [mm] x_2 [/mm] ?
Steh mir da echt aufm Schlauch!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:58 Do 24.06.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo tina
schau doch nochmals die Funktion selber an:
[mm] $\bruch{4}{1+tx^{2}}$
[/mm]
An dieser Funktion siehst du "auf einen Blick", dass sie gerade ist. Das heisst, der Graph der Funktion ist symmetrisch bezüglich der y-Achse. Das heisst auch, dass alle Eigenschaften bezüglich Hoch- und Tiefpunkten, Wendepunkten, Nullstellen etc. völlig symmetrisch sind.
Wenn die Funktion bei $+c$ einen Wedepunkt hat, dann auch bei $-c$ usw.
Wenn eine Funktion mit Funktionswert $0$ an dieser Stelle eine 1. Ableitung hat, die [mm] $\not [/mm] = 0$ ist, dann wechselt sie dort das Vorzeichen.
So gesehen könntest du einfach die 3. Ableitung bilden (das ist ja die 1. Ableitung der 2. Ableitung  ) und dort deinen Testpunkt einsetzen.
Nach meiner Rechnung ist die 3. Ableitung:
[mm] $\bruch{96t^{2}x(1-tx^{2})}{(1+tx^{2})^{4}}$
[/mm]
Wenn du [mm] $\bruch{1}{\wurzel{3t}}$ [/mm] einsetzt und untersuchst, dann stellst du fest, dass die 3. Ableitung für alle gültigen $t$ ($t>0$, weil ja nur bei diesen Werten überhaupt eine Wendetangente in Frage kommt) die 3. Ableitung $> 0$ ist.
Mit lieben Grüssen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:40 Do 24.06.2004 | | Autor: | ziska |
> Hallo tina
Meinst du mich?!?
> Das heisst, der Graph der Funktion ist symmetrisch bezüglich der y-
> Achse. Das heisst auch, dass alle Eigenschaften bezüglich Hoch- und
> Tiefpunkten, Wendepunkten, Nullstellen etc. völlig symmetrisch sind.
Das ist klar.
x= [mm] \bruch{1}{\wurzel{t}} [/mm] ist doch kleiner als [mm] x_1=[/mm] [mm]\bruch{1}{\wurzel{3t}} [/mm] , oder??
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 Di 29.06.2004 | | Autor: | ziska |
Ich nochmal. Erneut ist eine Frage zu dieser Aufgabe aufgetaucht...
Als Wendepunkte hab ich nun die Werte
[mm] W_1= [/mm] ([mm]\bruch{1}{\wurzel{3t}}[/mm] / 3)
[mm] W_2= [/mm] (-[mm]\bruch{1}{\wurzel{3t}}[/mm] / 3)
Die Frage dazu:
Für welchen Wert von t hat [mm] K_t [/mm] Wendetangenten mi den Steigungen 1 bzw -1?
mein Ansatz:
Die allgemeine Formel für eine Gerade: y=mx+b
m= 1 bzw. m=-1
Nun kann ich den Punkt und die Steigung in die allgemeine Formel
einsetzen:
3= [mm]\bruch{1}{\wurzel{3t}}[/mm] *1 +b
Die löse ich dann nach b auf und dann hab ich die Wendetangente raus. Stimmt das auch?
Dann noch eine Frage zu den Asymptotengleichungen. [mm] K_t [/mm] hat ja für t<0 eine andere Asymptotengleichung als für t>0. Letztere hab ich auch rausbekommen, aber ich hab sie grad nicht vorliegen- mein Schulzeug liegt wieder in meinem Zimmer. Das Problem, wenn t<0 ist, dann steht unter der Wurzel was Negatives und das darf ja nicht sein. Wie ist das dann mit den Asymptotengleichungen??? Versteht ihr was ich meine?
glg,
ziska
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:50 Mi 23.06.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo ziska
> okay, die frage ist etwas umfassender als im betreff
> eingegeben.
> 1.) gegeben war die Funktion:
> f(x) =[mm] \frac{tx²}{x²-4}[/mm]
>
> Nun weiß ich nicht, wie ich die Asymptotengleichungen
> bestimme. Kann mir da jemand helfen?
>
Da kommt man durch, wenn man im Zähler und im Nenner das x mit dem höchsten Exponenten ausklammert und dann kürzt:
$f(x) = [mm] \frac{x^{2}*t}{x^{2}*(1-4/x^{2})} [/mm] = [mm] \frac{t}{1- \frac{4}{x^{2}}}$
[/mm]
Der Ausdruck [mm] $\frac{4}{x^{2}}$ [/mm] strebt mit $x [mm] \to \infty$ [/mm] gegen $0$, somit ergibt sich für [mm] $x\to\infty$:
[/mm]
$f(x)=t$ 
> 2.frage dazu: Wie finde ich heraus, durch welchen punkt
> alle graphen verlaufen?
>
Hier würde ich das so überlegen: dieser Punkt muss für alle Parameter $t$ der gleiche sein. Dann nehme ich zwei verschiedene $t$'s zur Hand, z.B. [mm] $t_1$ [/mm] und [mm] $t_2$, [/mm] welche ausdrücklich verschieden voneinander sind!
Wenn ich diese $t$'s in die Gleichung einsetze, dann muss jedesmal der Gleiche Funktionswert entstehen. Also:
[mm] $\frac{t_{1}x^{2}}{x^{2}-4}=\frac{t_{2}x^{2}}{x^{2}-4}$
[/mm]
[mm] $t_{1}x^{2}=t_{2}x^{2}$
[/mm]
[mm] $t_{1}x^{2}-t_{2}x^{2}=0$
[/mm]
[mm] $(t_{1}-t_{2})x^{2}=0$
[/mm]
Weil vorausgesetzt wurde, dass [mm] $t_{1} \not [/mm] = [mm] t_{2}$ [/mm] ist, kann diese Gleichung durch [mm] $(t_{1}-t_{2})$ [/mm] dividiert werden (Man dividiert mit Sicherheit nicht durch $0$):
[mm] $(t_{1}-t_{2})x^{2}=0$
[/mm]
[mm] $x^{2}=0$
[/mm]
Somit weiss man: bei $x=0$ ist der Funktionswert von $t$ unabhängig.
Dies muss natürlich noch in der Funktionsgleichung eingesetzt werden!
Mit lieben Grüssen
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Wie bist du auf diese Steigung gekommen?
