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| Aufgabe | Untersuche die Funktionen auf Asymptoten und Stetigkeit
1. [mm]y=\bruch{2x+1}{x+2}[/mm]
2. [mm]y=\bruch{5x-x^3}{x^2-3}[/mm]
3. [mm]y=\bruch{x^3+1}{x}[/mm] |
Zu 1.
Versuche die Asymptoten zu charakterisieren und dann einen allgemeingültigen Satz aufzustellen, in welchem Verhältnis die Asymptote zur Ursprungsfunktion steht.
Für Erklärungen siehe den Thread Erklärung der Stetigkeit
hier
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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[mm] 1.$y=\bruch{2x+1}{x+2}$
[/mm]
im Zähler ausklammern, so dass aus ax+b = a(x+b/a) wird
[mm] $y=\bruch{2(x+1/2)}{x+2}$
[/mm]
Wir suchen die Asymptote zum Graphen der Funktion y (oder f(x)).
Es muss gelten: [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] |f(x) - a(x)|=0
Man kürzt durch x und erhält: [mm] $y=\bruch{2(1+1/2x)}{1+2/x}$
[/mm]
Man könnte jetzt durch (1+1/2x) kürzen, damit 2 übrig bleibt. Dabei übersieht man aber, dass x auch - 1/2 sein kann ! Also versucht man es anders:
wenn x gegen unendlich geht, wären die Summanden 1/2x = 0, anders geschrieben:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}$\bruch{2(1+1/2x)}{1+2/x}$ [/mm] = [mm] $\bruch{2(1+0)}{1+0}$ [/mm] = 2
Da der Grenzwert y=f(x)=2 ist und a(x) ebenfalls 2 ist, stimmt die o.a. Voraussetzung der Asymptote und somit ist die Gerade y = 2 eine waagerechte Asymptote zur Funktion von y
[mm] 2.$y=\bruch{5x-x^3}{x^2-3}$man [/mm] kann Zähler und Nenner faktorisieren
[mm] \bruch{x(5-x^2)}{(x+\wurzel{3})(x-\wurzel{3})} [/mm] = [mm] \bruch{x(\wurzel{5}-\wurzel{x})(\wurzel{5}+\wurzel{x})}{(x+\wurzel{3})(x-\wurzel{3})}
[/mm]
Wie man sieht, sind im Zähler die Faktoren Hinweise auf die Nullstellen der Funktion, also x1= 0, x2= [mm] \wurzel{5} [/mm] und [mm] x3=-\wurzel{5},
[/mm]
im Nenner sind die Faktoren Hinweise auf Polstellen:
bei [mm] x=-\wurzel{3} [/mm] und [mm] x=\wurzel{3} [/mm] befinden sich zwei senkrechte Geraden.
Die Funktion an den Stellen der X-Werte [mm] x_0 [/mm] heißt nur stetig, wenn gilt:
[mm] f(x_0)=\limes_{h\rightarrow\ 0}f(x_0+h)={h\rightarrow\0}f(x_0-h),
[/mm]
d.h. der rechtsseitige und der linksseitige Grenzwert müssten übereinstimmen. Da dies nicht der Fall ist, die Grenzwerte sind [mm] \infty [/mm] und [mm] -\infty, [/mm] ist die Funktion nicht stetig !
Jetzt zu den Asymptoten:
Es muuß gelten: [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}|f(x)-a(x)|=0
[/mm]
bei gebrochenrationalen Funktionen (wie in diesem Fall) hilft nur die Polynomdivision weiter, also
[mm] (5x-x^3) [/mm] : [mm] (x^2-3) [/mm] = -x + [mm] \bruch{8x}{x^2-3}
[/mm]
mit [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{8x}{x^2-3} [/mm] folgt,
dass -x die Asymptote von f(x) sein muss, da sie für betragsmäßig große x-Werte übrigbleibt. (Habe ich so aus Deiner Anleitung)
3.$ [mm] y=\bruch{x^3+1}{x} [/mm] $
Die Polstelle ist bei [mm] x_0=0. [/mm] Der Grenzwert der Funktion für [mm] x_0 [/mm] ist [mm] \pm \infty. [/mm] Insofern ist die Funktion auch nicht stetig.
wenn man durch x teilt erhält man:
[mm] y=x^2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
hier komme ich nicht weiter...
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> 1.[mm]y=\bruch{2x+1}{x+2}[/mm]
>
> im Zähler ausklammern, so dass aus ax+b = a(x+b/a) wird
>
> [mm]y=\bruch{2(x+1/2)}{x+2}[/mm]
>
> Wir suchen die Asymptote zum Graphen der Funktion y (oder
> f(x)).
>
> Es muss gelten: [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] |f(x) -
> a(x)|=0
>
> Man kürzt durch x und erhält: [mm]y=\bruch{2(1+1/2x)}{1+2/x}[/mm]
>
> Man könnte jetzt durch (1+1/2x) kürzen, damit 2 übrig
> bleibt. Dabei übersieht man aber, dass x auch - 1/2 sein
> kann ! Also versucht man es anders:
> wenn x gegen unendlich geht, wären die Summanden 1/2x = 0,
> anders geschrieben:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] [mm]\bruch{2(1+1/2x)}{1+2/x}[/mm] =
> [mm]\bruch{2(1+0)}{1+0}[/mm] = 2
> Da der Grenzwert y=f(x)=2 ist und a(x) ebenfalls 2 ist,
> stimmt die o.a. Voraussetzung der Asymptote und somit ist
> die Gerade y = 2 eine waagerechte Asymptote zur Funktion
> von y
Das sieht mir alles an dieser Stelle etwas kompliziert aus, obwohl du das richtige Ergebnis hast, erlaube mir daher zu zeigen, wie ich es gemacht hätte:
Es hätte hier gereicht, einfach durch x zu teilen, denn im Moment interessieren wir uns ja nur für das Verhalten für x gegen [mm] \infty
[/mm]
$ [mm] y=\bruch{2x+1}{x+2}=\bruch{2+\bruch{1}{x}}{1+\bruch{2}{x}} [/mm] $
Aus dieser Darstellung folgt sofort, wie du selbst schon gesagt hast, dass die Terme der Form [mm] \bruch{c}{x} [/mm] natürlich 0 werden und nicht betrachtet werden brauchen, womit dann 2 als Grenzwert für x gegen [mm] \infty [/mm] feststeht, einfacher oder? :)
Was ich bei dir nicht verstehe, ist dein Einwand, nicht durch x etc teilen zu wollen, da sonst eine Lösung wegfallen würde? Warum sollte dies passieren und -1/2x wäre doch sowieso keine Lösung? Du denkst vielleicht an Gleichungen solcher Art:
x*(bla)=0
würdest du jetzt durch x teilen, würde man übersehen, dass x=0 eine Lösung des Gleichungssystems ist etc, aber bei Brüchen darfst du immer umschreiben, du teilst ja nur jede Zahl durch x oder eben einen Term, also kürzt du den Bruch, das ist erlaubt
Ansonsten hast du die Stetigkeit vergessen, oder? :) Ich weiß jetzt nicht, ob das ein Flüchtigkeitsfehler war oder ob du sie bewusst nicht bearbeitet hast, daher schreibe ich hier nur als Beispiel, wie es für die erste Aufgabe gegangen wäre, für die zwei anderen kannst du es dann editieren, wenn du willst:
$ [mm] y=\bruch{2x+1}{x+2} [/mm] $
Die Funktionen sind in sich abgeschlossen und stetig, der Nenner ist eine Gerade, der Zähler auch, also kann es nur Probleme geben, wo der Nenner 0 wird, denn durch 0 kann man nicht teilen. Daher ist die Funktion nicht definiert für [mm] x_0=-2
[/mm]
Der Definitionsbereich ist damit x [mm] \in \IR [/mm] \ {-2} (x Element von [mm] \IR, [/mm] außer -2)
Was ist [mm] x_0=2 [/mm] für eine Stelle, ist es eine Polstelle oder eine Definitionslücke?
Kurzer Weg:
[mm] x_0=-2 [/mm] ist eine NST (Nullstelle) für den Nenner, aber nicht für den Zähler, damit ist es eine Polstelle.
mathematischer Weg:
Grenzwert für die Stelle [mm] x_0=-2
[/mm]
[mm]\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{2*(-2+h)+1}{-2+h+2}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{+2h-3}{h}[/mm]
[mm]\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{2*(-2-h)+1}{-2-h+2}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{-2h-3}{-h}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{2h+3}{h}[/mm]
Wie man sieht, sind die Grenzwerte nicht identisch, es gibt keinen eindeutigen linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert, also ist es keine Lücke, die man beheben könnte.
Die Fragestellung mit Stetigkeit ist etwas unglücklich, das sollte klar sein, da die FUnktion für x=-2 nicht definiert ist! Eher hätte ich sagen sollen, untersuche die Definitionslücken der Funktion, hoffe trotzdem, du verstehst das hier :)
Das bedeutet, die Funktion f(x) ist natürlich auf ganz D stetig, denn nur bei x=-2 hat sie eine Polstelle, für diesen Wert ist sie aber auch nicht definiert.
Bei Def-Lücken ist dann mehr mit Stetigkeit, daher ist es nicht ganz so falsch, denn man kann dann ja eine neue Funktion erstellen, aber an dieser Stelle soll mal gut sein:)
Also wenn du möchtest, kannst du deine Antwort nochmal editieren.
>
> 2.[mm]y=\bruch{5x-x^3}{x^2-3}[/mm]man kann Zähler und Nenner
> faktorisieren
>
> [mm]\bruch{x(5-x^2)}{(x+\wurzel{3})(x-\wurzel{3})}[/mm] =
> [mm]\bruch{x(\wurzel{5}-\wurzel{x})(\wurzel{5}+\wurzel{x})}{(x+\wurzel{3})(x-\wurzel{3})}[/mm]
>
> Wie man sieht, sind im Zähler die Faktoren Hinweise auf die
> Nullstellen der Funktion, also x1= 0, x2= [mm]\wurzel{5}[/mm] und
> [mm]x3=-\wurzel{5},[/mm]
>
> im Nenner sind die Faktoren Hinweise auf Polstellen:
>
> bei [mm]x=-\wurzel{3}[/mm] und [mm]x=\wurzel{3}[/mm] befinden sich zwei
> senkrechte Geraden.
> Die Funktion an den Stellen der X-Werte [mm]x_0[/mm] heißt nur
> stetig, wenn gilt:
>
> [mm]f(x_0)=\limes_{h\rightarrow\ 0}f(x_0+h)={h\rightarrow\0}f(x_0-h),[/mm]
>
> d.h. der rechtsseitige und der linksseitige Grenzwert
> müssten übereinstimmen. Da dies nicht der Fall ist, die
> Grenzwerte sind [mm]\infty[/mm] und [mm]-\infty,[/mm] ist die Funktion nicht
> stetig !
>
> Jetzt zu den Asymptoten:
>
> Es muuß gelten: [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}|f(x)-a(x)|=0[/mm]
>
> bei gebrochenrationalen Funktionen (wie in diesem Fall)
> hilft nur die Polynomdivision weiter, also
>
> [mm](5x-x^3)[/mm] : [mm](x^2-3)[/mm] = -x + [mm]\bruch{8x}{x^2-3}[/mm]
>
> mit [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{8x}{x^2-3}[/mm] folgt,
>
> dass -x die Asymptote von f(x) sein muss, da sie für
> betragsmäßig große x-Werte übrigbleibt. (Habe ich so aus
> Deiner Anleitung)
>
> 3.[mm] y=\bruch{x^3+1}{x}[/mm]
>
> Die Polstelle ist bei [mm]x_0=0.[/mm] Der Grenzwert der Funktion für
> [mm]x_0[/mm] ist [mm]\pm \infty.[/mm] Insofern ist die Funktion auch nicht
> stetig.
>
> wenn man durch x teilt erhält man:
>
> [mm]y=x^2[/mm] + [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
>
> hier komme ich nicht weiter...
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