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| Aufgabe | Bestimme die Gleichung von Tangente, Normale und Krümmungskreis im Punkt [mm] P(\bruch{\sqrt{2}}{4}|\bruch{\sqrt{2}}{4}) [/mm] der Astroide
[mm] x(t)=cos^{3}t, [/mm]
[mm] y(t)=sin^{3}t, [/mm]
0 [mm] \le [/mm] t < [mm] 2\pi [/mm] |
Es geht wieder um das Herangehen schon. Ich müsste doch [mm] cos^{3}t [/mm] irgendwie als Ausdruck von [mm] sin^{3}t [/mm] schreiben, sodass ich eine Gleichung mit x und y erhalte und dann ableiten kann, um die Gl. der Tangente zu erhalten.
Im Moment hab ich versucht irgendwie mit der [mm] cos^{2}t+cos^{2}t=1 [/mm] zu jonglieren, aber das macht ja wohl wenig Sinn?
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Du kannst die Darstellung in [mm]x,y[/mm] durchaus herstellen (Parametergleichungen hoch [mm]\frac{2}{3}[/mm] und in die "Jongliergleichung" einsetzen). Es ist aber überhaupt nicht nötig, da ja gilt:
[mm]\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}[/mm]
Und wie wär's mit [mm]t = \frac{\pi}{4}[/mm] ?
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Eine Tangente ist doch immer eine Gerad der Form: y=mx+n, wobei m der Anstieg ist und durch [mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] berechnet wird.
Nun hab ich aber -tan(t) raus und will die Tangente, Normale und den Kreis in P bestimmen.
die Tangente würde ja dann so aussehen?
y=tan(t)*x+ [mm] \bruch{\sqrt{2}}{4}+tan(t)*\bruch{\sqrt{2}}{4}
[/mm]
komisch?
Kann das sein? Wie mach ich das mit Normale und Gerade.
Was meintest du mit t = [mm] \frac{\pi}{4}
[/mm]
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[mm]t = \frac{\pi}{4}[/mm] liefert dir einfach den Punkt [mm]P[/mm]. Und wegen
[mm]\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = -3 \cos^2{t} \, \sin{t}[/mm]
[mm]\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = 3 \sin^2{t} \, \cos{t}[/mm]
bekommst du sofort die Steigung im Punkt [mm]P[/mm]:
[mm]\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}} = \frac{-3 \cos^2{\left( \frac{\pi}{4} \right)} \, \sin{\left( \frac{\pi}{4} \right)}}{3 \sin^2{\left( \frac{\pi}{4} \right)} \, \cos{\left( \frac{\pi}{4} \right)}} = -1[/mm]
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Hallo,
danke für deine Antwort, es hat mich sehr gefreut. Nun hab ich noch eine kurze Frage: wie kommt man denn auf das t und wie mach ich das mit diesem Krümmungskreis?
Vielen Dank & schönen Feiertag.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:48 Mo 05.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo useratmathe
Wir sind kein chatroom, wo man sich nur Sätze oder Fragen hinschmeisst, sondern ein Forum mit gewissen Höflichkeitsformen, z. Bsp. begrüsst man sich, dankt, wenn jemand einem seine Freizeit opfert, und verabschiedet sich! Eigentlich dachte ich sowas muss man nur Schülern schreiben!
1., wenn x(t) und y)t) einen Wert haben, kann man den einsetzen und dann nach t auflösen. hier ist z, Bsp. ganz einfach x/y=1.
2. Geraden kann man auch in Parameterform schreiben, das ist wenn die Kurve parametrisiert ist eigentlich natürlicher. x=a*t+b, y=c*t+d ist so ne Form. dabei ist a=dx /dt an der Stelle, wo du die Tangente suchst.
Gruss leduart
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Halli Hallo leduart,
entschuldige das meine Frage so kurz und bündig war und keine großen Ausmalungen hatte- aber wenn ich jedes Mal noch Prosa dazu dichten muss, find ich das albern. Ich grüße gern bei der Eröffnung und natürlich bedanke ich mich sehr gern, wenn mein Problem gelöst ist.
Es geht doch im Moment nur ums Prinzip und nicht um Höfflichkeiten....
Na gut, dann werd ich mir ab jetzt Schema F kopieren und als erstes hier einfügen...
Vielen Dank, einen schönen Tag, sowie eine angenehme Woche und viele liebe Grüße vom Tim
P.S.: Vielen herzlichen Dank für den Hinweis, sorry wenn ich so zynisch gerade bin, aber ich hab dein Kommentar als etwas beleidigend aufgefasst
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aber das stimmt doch nicht, oder?
[mm] \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} [/mm] = 3 [mm] \sin^2{t} \, \cos{t} [/mm]
dann muss doch auch dy im Zähler stehen, da ja [mm] m=\bruch{dy}{dx} [/mm] ist - oder sehe ich das falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:18 So 11.06.2006 | | Autor: | leduart |
> aber das stimmt doch nicht, oder?
>
> [mm]\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}[/mm] = 3 [mm]\sin^2{t} \, \cos{t}[/mm]
>
> dann muss doch auch dy im Zähler stehen, da ja
> [mm]m=\bruch{dy}{dx}[/mm] ist - oder sehe ich das falsch?
c=dy/dt, a=dx/dt m=c/a
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Alles klar, danke für die schnelle Hilfe leduart :)
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Hallo,
doch noch nicht klar:
a:= [mm] \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} [/mm] = - 3 [mm] \cos^2{t} \, \sin{t}
[/mm]
b:= [mm] \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} [/mm] = 3 [mm] \sin^2{t} \, \cos{t}
[/mm]
und [mm] m=\frac{b}{a}=\frac{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = 3 \sin^2{t} \, \cos{t}}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = - 3 \cos^2{t} \, \sin{t}} [/mm] = [mm] \frac{cos t}{sin t}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:39 So 11.06.2006 | | Autor: | leduart |
> Hallo,
>
> doch noch nicht klar:
>
> a:= [mm]\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}[/mm] = - 3 [mm]\cos^2{t} \, \sin{t}[/mm]
>
> b:= [mm]\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}[/mm] = 3 [mm]\sin^2{t} \, \cos{t}[/mm]
> und [mm]m=\frac{b}{a}=\frac{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = 3 \sin^2{t} \, \cos{t}}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = - 3 \cos^2{t} \, \sin{t}}[/mm]
> = [mm]\frac{cos t}{sin t}[/mm]
Fehler, - fehlt!
jetzt t einsetzen, fertig! oder wegen [mm] sin^{3}t=cos^{3}t [/mm] für den gegebenen Pkt folgt cost/sint=1, m=-1
Gruss leduart
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Ach danke, jetzt is der Groschen gefallen, ich hab schon an mir gezweifelt.
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Soweit sogut und danke erstmal, ich hab für
[mm] y_{t}= -x+\bruch{1}{2}\wurzel{2}
[/mm]
[mm] y_{n}=x
[/mm]
und für den Krümmungskreis
[mm] \kappa [/mm] = [mm] \bruch{x'(t)*y"(t)-x"(t)*y'(t)}{\wurzel{x'²(t)+y²'(t)}}
[/mm]
und mit [mm] t=\bruch{\pi}{4}: \kappa [/mm] = -1,5
Wie komm ich jetzt noch auf die Form
(x-a)²+(x-b)²=d?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:55 So 11.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo user
> Soweit sogut und danke erstmal, ich hab für
>
> [mm]y_{t}= -x+\bruch{1}{2}\wurzel{2}[/mm]
> [mm]y_{n}=x[/mm]
>
> und für den Krümmungskreis
> [mm]\kappa[/mm] =
> [mm]\bruch{x'(t)*y"(t)-x"(t)*y'(t)}{\wurzel{x'²(t)+y²'(t)}}[/mm]
> und mit [mm]t=\bruch{\pi}{4}: \kappa[/mm] = -1,5
>
> Wie komm ich jetzt noch auf die Form
> (x-a)²+(x-b)²=d?
das ist keine Kreisgl. aber wenn du die Krümmung hast, hast du ja auch den Krümmungsradius r, und musst nur auf de Normalen das Stück r vom Punkt weglaufen, dann hast du den Mittelpunkt, und damit a,b dein d soll hoffentlich [mm] r^{2} [/mm] sein.
Gruss leduart
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Danke wieder für die schnelle Hilfe [mm] R=\bruch{1}{|\kappa|} [/mm] und damit [mm] R=\bruch{2}{3}
[/mm]
Auf welcher Normalen meinst du denn?
Irgendwie kann ich mir das gar nich richtig vorstellen, deshalb die vielen Fragen-kann man sich das irgendwie mit Derive oder MathCad/Maple anzeigen lassen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:36 So 11.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Der Radius des Kreises steht senkrecht auf der Tangente. Was ist denn dein yn? und die Krümmung ist neg. also musst du nach aussen gehen.
Gruss leduart
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Also mein Radius ist doch [mm] -\bruch{2}{3} [/mm] und [mm] y_{n}=x.
[/mm]
Wie kann nun der Radius senkrecht stehen, als eine Art Gerade? Der würde doch in alle Richtungen gehen?
Bin immernoch etwas durcheinander, geht das nicht irgendwie mit MathCad darstellbar oder so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:14 Mo 12.06.2006 | | Autor: | leduart |
Also die Länge des Radius ist 2/3. aber Der Mittelpkt des Kreises liegt auf einer Geraden senkrecht zur Tangente, also auf der Normalen und hat vom Berührpunkt den Abstand 2/3. deshalb auch kurz, Radius steht senkrecht auf Tangente. mach doch mal ne Skizze von Kurve und Tangente, Normale und Krümmungskreis.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die rote Kurve ist der Ort aller Krümmungsmittelpunkte, wieder ne Astroide!
Gruss leduart
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Fehlt da in der [mm]\kappa[/mm]-Formel von useratmathe nicht noch ein [mm]\left( \text{...} \right)^3[/mm] im Nenner? Und wäre dann nicht [mm]\kappa = - \frac{2}{3}[/mm], also [mm]R = \frac{3}{2}[/mm]?
Das legt ja auch deine Zeichnung nahe.
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Wo meinst du denn? Das mit der hoch 3?
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Dankeschön
Wie soll ich das in einer Skizze so einfach machen? Ich weiß doch nicht wie [mm] sin^{3}x [/mm] aussieht. Wie hast du das gemacht?
Ich komm einfach nicht drauf, hab doch nun eine Gerade [mm] y_{n}=x [/mm] und 2 Punkte die daraufliegen, also einmal P( [mm] \bruch{\sqrt{2}}{4} [/mm] , [mm] \bruch{\sqrt{2}}{4}) [/mm] und dann M(x,y). Muss ich nun vektorielle addieren, oder?
[mm] \overline{OM}=\overline{OP}+\overline{PM}
[/mm]
Hab ein Brett vorm Kopf...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:00 Mo 12.06.2006 | | Autor: | leduart |
1.Kennst du nicht die allgemeine Kreisgleichung wenn Mittelpunkt und Radius gegeben ist?
2. Deine Formeln und Zahlenwerte hatte ich nicht überprüft, Leopold hat natürlich rech! Danke ! Frag einfach nicht nur sondern überleg, was sein Beitrag bedeuten könnte!
Gruss leduart
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Hab wieder die Formalitäten vergessen: Großes Danke für eure Hilfe und einen schönen Tag noch.
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