Assoziativ/Kommutativgesetz < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:26 Di 25.10.2005 | | Autor: | tini04 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!Ich bin schier am Verzweifeln!Hab hier ne Aufgabe, bei der ich nicht einmal einen Ansatz, geschweigedenn eine Lösung finden kann. Wär um eine Hilfe sehr dankbar.Weiß, dass es sehr kurzfristig ist, aber es ist mein 1. Semester und ich bin etwas überfordert.
Beweisen sie per Vollständiger Induktion:
i) Assoziativgesetz:Für alle k,m,n [mm] \in \IN [/mm] gilt: (k+m)+n=k+(m+n) und (k*m)*n=k*(m*n).
ii) Kommutativgesetz: Für alle m,n [mm] \in \IN [/mm] gilt: m+n=n+m und m*n=n*m
iii) Distributivgesetz: Für alle k,m,n [mm] \in \IN [/mm] gilt: (k+m)*n=k*n+k*m (Wobei wir hier der Konvention folgen, dass Punktrechnung vor Strichrechnung geht.)
Sie dürfen die Peano_Axiome, die Existenz und Eindeutigkeit von Addition und Multiplikation benutzen.
Wenn mir jemand helfen könnte, wär das echt super.Kann momentan mit dem ganzen Zeug noch nicht so viel anfangen.Weiß nicht wie ich soetwas beweisen soll oder was für Möglichkeiten es überhaupt gibt.
Grüße Tina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:13 Mi 26.10.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Tini
> Beweisen sie per Vollständiger Induktion:
>
> i) Assoziativgesetz:Für alle k,m,n [mm]\in \IN[/mm] gilt:
> (k+m)+n=k+(m+n) und (k*m)*n=k*(m*n).
1. (k+1)+1 ist nach Peano der Nachfolger von k+1, der Nachfolger von k+1 ist aber k+2=k+(1+1) gilt für alle k
a)Induktion nach m Vors: (k+m)+1==k+(m+1) Behauptung dann gilt (k+(m+1))+1=k+((m+1)+1)
addier auf beiden Seiten der Ind.Vors 1
(k+m)+1+1=k+(m+1)+1 Eind. der Addition
verwende Ind.Vors für dn 1. Teil der linken Seite
<=>( k+(m+1))+1=k+((m+1)+1) q.e.d.
praktisch genauso gehst du für die nächst Induktion nach n vor. Für n=1 richtig, für n richtig daraus für n+1 richtig.
> ii) Kommutativgesetz: Für alle m,n [mm]\in \IN[/mm] gilt: m+n=n+m
1+1=1+1. Indvors:1+n=n+1 Ind,Behaupt 1+(n+1)=(n+1)+1
wieder addiere zur richtigen Gleichung 1:
(1+n)+1=(n+1)+1
wegen i) ist das 1+(n+1)=(n+1)+1
2.Teil m+n=n+m richtig für m=1
Ind.Vors m+n=n+m
addiere 1: ( m+n)+1=(n+m)+1
wieder i)benutzen
<=> m +(n+1) =n+(m+1)
<=>m+(1+n)=n+(m+1)
nochmal i)
<=> (m+1)+n=n+(m+1) qed.
So jetzt hast du ne Ahnung, wie das läuft, und ich keine Lust mehr zu schreiben. Versuch den Rest mal allein
Gruss leduart
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