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Hallo,
gibt es einen relativ einfachen weg die Wegstrecke vom Scheitelpunkt bis zu einem beliebigen Punkt (in Abhaengigkeit von x und y) auf einer Asphaere zu berechen?
Die Asphaerenformel lautet:
z = [mm] \bruch{ c_{x} * x^{2} + c_{y} * y^{2}}{1 + \wurzel{ 1 - (1 + k_{x}) * c_{x}^{2} * x^{2} - (1 - k_{y}) * c_{y}^{2} * y^{2}}}
[/mm]
mit [mm] c_{x} [/mm] = [mm] \bruch{1}{R_{x}} [/mm] und [mm] c_{y} [/mm] = [mm] \bruch{1}{R_{y}}
[/mm]
[mm] R_{x,y} [/mm] ist Kruemmungsradius in x- bzw. y-Richtung
[mm] k_{x,y} [/mm] ist konische Konstante in x- bzw, y-Richtung
mit
k = 0 sphaerisches Oberflaecheprofil
k = -1 parabolisches Oberflaecheprofil
k < -1 hyperbolisches Oberflaechenprofil
sonst -> elliptisches Oberflaechenprofil
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:58 Fr 30.07.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo brainless,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Dann will ich mich mal als ein Unwissender outen 
> gibt es einen relativ einfachen weg die Wegstrecke vom
> Scheitelpunkt bis zu einem beliebigen Punkt (in
> Abhaengigkeit von x und y) auf einer Asphaere zu
> berechen?
Der Scheitelpunkt befindet sich in $(0,0,0)$ und der beliebige Punkt hat die Koordinaten [mm] $(x_0,y_0,z_0)$.
[/mm]
Ich nehme mal folgendes an:
Wenn man die gesuchte Wegstrecke in die xy-Ebene (senkrecht, in z-Richtung) projiziert müßte sich eine Strecke/Gerade ergeben, die die folgende Parameterdarstellung hat:
[mm] $\vektor{x\\y\\z}=t*\vektor{x_0\\y_0\\0}$, $t\in[0;1]$
[/mm]
Damit müßte sich die die Wegstrecke auf der Asphäre doch so parametrisieren
[mm] $\gamma:\ \IR\to\IR^3$
[/mm]
[mm]t\mapsto\vektor{x\\y\\z}=\vektor{t*x_0\\t*y_0\\\bruch{ c_{x} * t^2*x_0^2 + c_{y} * t^2*y_0^2}{1 + \wurzel{ 1 - (1 + k_{x}) * c_{x}^{2} * t^2*x_0^2 - (1 - k_{y}) * c_{y}^{2} * t^2*y_0^2}}}[/mm]
und über die Formel
[mm] $L(\gamma)=\integral_0^1 |\gamma'(t)| [/mm] dt$
berechnen lassen.
Zuvor müßte natürlich noch sichergestellt sein, dass meine Parametrisierung stetig und differenzierbar ist.
Ich habe es natürlich nicht weiter verfolgt, aber vielleicht hilft es ja dir oder jemand anderem hier weiter.
Viele Grüße,
Marc
Nachtrag:
[mm] $\gamma(t)$
[/mm]
[mm]=\vektor{t*x_0\\t*y_0\\
\bruch{ t^2*\left( c_x*x_0^2+c_y*y_0^2\right)*\left(1-\wurzel{1-(1+k_x)*c_x^2*t^2*x_0^2-(1-k_y)*c_y^2*t^2*y_0^2}\right)}
{1-\left(1-(1+k_x)*c_x^2*t^2*x_0^2-(1-k_y)*c_y^2*t^2*y_0^2\right)}}[/mm]
[mm]=\vektor{t*x_0\\t*y_0\\
\bruch{ t^2*\left( c_x*x_0^2+c_y*y_0^2\right)*\left(1-\wurzel{1-(1+k_x)*c_x^2*t^2*x_0^2-(1-k_y)*c_y^2*t^2*y_0^2}\right)}
{t^2*\left((1+k_x)*c_x^2*x_0^2-(1-k_y)*c_y^2*y_0^2\right)}}[/mm]
[mm]=\vektor{t*x_0\\t*y_0\\
\bruch{ \left( c_x*x_0^2+c_y*y_0^2\right)*\left(1-\wurzel{1-(1+k_x)*c_x^2*t^2*x_0^2-(1-k_y)*c_y^2*t^2*y_0^2}\right)}
{\left((1+k_x)*c_x^2*x_0^2-(1-k_y)*c_y^2*y_0^2\right)}}[/mm]
Das sieht doch schon ein bisschen freundlicher aus.
Nun setze ich noch: [mm] $A:=(1+k_x)*c_x^2*x_0^2$ [/mm] und [mm] $B:=(1-k_y)*c_y^2*y_0^2$
[/mm]
[mm]=\vektor{t*x_0\\t*y_0\\
\bruch{ \left( c_x*x_0^2+c_y*y_0^2\right)*\left(1-\wurzel{1-A*t^2-B*t^2}\right)}
{\left(A-B\right)}}[/mm]
[mm]=\vektor{t*x_0\\t*y_0\\
\bruch{ \left( c_x*x_0^2+c_y*y_0^2\right)*\left(1-\wurzel{1-t^2*(A+B)}\right)}
{\left(A-B\right)}}[/mm]
Das lacht einen doch geradezu an 
NR: [mm] $\left(1-\wurzel{1-t^2*(A+B)}\right)'=-\bruch{-2t(A+B)}{2*\wurzel{1-t^2*(A+B)}}=\bruch{t(A+B)}{\wurzel{1-t^2*(A+B)}}$
[/mm]
[mm]\gamma'(t)[/mm]
[mm]=\vektor{x_0\\y_0\\
\bruch{ \left( c_x*x_0^2+c_y*y_0^2\right)}{\left(A-B\right)}*\bruch{t(A+B)}{\wurzel{1-t^2*(A+B)}}}[/mm]
Und [mm] $|\gamma'(t)|$
[/mm]
[mm]=\wurzel{x_0^2+y_0^2+\left(\bruch{c_x*x_0^2+c_y*y_0^2}{A-B}*\bruch{t(A+B)}{\wurzel{1-t^2*(A+B)}}\right)^2}[/mm]
[mm]=\wurzel{x_0^2+y_0^2+\left(\bruch{c_x*x_0^2+c_y*y_0^2}{A-B}\right)^2*\bruch{t^2*(A+B)^2}{1-t^2*(A+B)}}[/mm]
Das sieht auf den ersten Blick integrierbar aus...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:55 Mo 02.08.2004 | | Autor: | brainless |
Vielen Dank! ... das hilft mir schon sehr viel weiter!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:11 Mi 04.08.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo brainless,
> Vielen Dank! ... das hilft mir schon sehr viel weiter!
Huch, das hätte ich ja nicht gedacht, ich hab' ja einfach nur unbekümmert drauf los gerechnet
Aber es freut mich natürlich, und melde dich bitte wieder, falls etwas unklar ist.
Viele Grüße,
Marc
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