Art der Unstetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:25 Mi 10.12.2008 | | Autor: | haZee |
| Aufgabe | Untersuchen sie die folgenden Funktionen auf Stetigkeit an der Stelle [mm] x=x_{0}.
[/mm]
Im Fall der Unstetigkeit geben sie die Art der Unstetigkeit an.
a) f(x)=ln|x-5| [mm] x_{0}=5
[/mm]
b) f(x)=x²-1 für [mm] x\le0 [/mm] und -x² für x>0 mit [mm] x_{0}=0
[/mm]
c) [mm] f(x)=[sin^{2}x-cos^{2}x]/[sinx-cosx] [/mm] |
bei a) habe ich herausgefunden, dass der rechtsseitige und der linksseitige grenzwert [mm] \infty [/mm] ist. das bedeutet doch, dass die funktion stetig ist, nicht wahr?
bei b) ist der linksseitige GW [mm] \infty [/mm] und der rechtsseitige [mm] -\infty [/mm] , oder? das bedeutet die funktion ist unstetig und hat einen sprung an der stelle [mm] x_{0} [/mm] , oder?
bei c) komm ich irgendwie nich voran, kann man die funktion irgendwie vereinfachen? mich verunsichern die quadratzahlen doch sehr. könnt ihr mir weiterhelfen?
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> Untersuchen sie die folgenden Funktionen auf Stetigkeit an
> der Stelle [mm]x=x_{0}.[/mm]
> Im Fall der Unstetigkeit geben sie die Art der
> Unstetigkeit an.
>
> a) f(x)=ln|x-5| [mm]x_{0}=5[/mm]
> b) f(x)=x²-1 für [mm]x\le0[/mm] und -x² für x>0 mit [mm]x_{0}=0[/mm]
> c) [mm]f(x)=[sin^{2}x-cos^{2}x]/[sinx-cosx][/mm]
> bei a) habe ich herausgefunden, dass der rechtsseitige und
> der linksseitige grenzwert [mm]\infty[/mm] ist. das bedeutet doch,
> dass die funktion stetig ist, nicht wahr?
Nein.
Es bedeutet, dass die Funktion hier eine gerade Polstelle hat. Polstellen sind immer unstetig.
>
> bei b) ist der linksseitige GW [mm]\infty[/mm] und der rechtsseitige
> [mm]-\infty[/mm] , oder? das bedeutet die funktion ist unstetig und
> hat einen sprung an der stelle [mm]x_{0}[/mm] , oder?
Die Grenzwerte stimmen nicht. Aber in der Tat sind der links- und der rechtsseitige Grenzwert unterschiedlich und es liegt ein Sprung vor.
> bei c) komm ich irgendwie nich voran, kann man die funktion
> irgendwie vereinfachen? mich verunsichern die quadratzahlen
> doch sehr. könnt ihr mir weiterhelfen?
Ist hier auch ein [mm] x_0 [/mm] gegeben? Ich vermute [mm] x_0=\bruch{\pi}{4}.
[/mm]
Normalerweise denkt man bei Quadraten an trigonometrischen Funktionen erst einmal an den trigonometrischen Pythagoras. Das ist hier aber gar nicht hilfreich. Viel besser ist es, die dritte binomische Formel zu kennen.
Im Ergebnis jedenfalls ist die Funktion bei allen [mm] x=\bruch{\pi}{4}+k\pi [/mm] unstetig, die Unstetigkeiten sind aber alle hebbar.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:49 Mi 10.12.2008 | | Autor: | haZee |
ich dachte eine funktion ist dann stetig, wenn die grenzwerte (links- und rechtsseitig) gleich sind.
aber gut, also bei a) unstetig mit polstelle an der stelle [mm] x_{0}
[/mm]
was sind denn die grenzwerte von b)? kannst du mir das mal vorrechnen?
und mit dem [mm] x_{0} [/mm] bei c) hast du recht.
danke schonmal :)
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> ich dachte eine funktion ist dann stetig, wenn die
> grenzwerte (links- und rechtsseitig) gleich sind.
Stimmt genau, außer der Grenzwert ist [mm] \pm\infty.
[/mm]
> was sind denn die grenzwerte von b)? kannst du mir das mal
> vorrechnen?
Gegeben war
b) f(x)=x²-1 für [mm] x\le0 [/mm] und -x² für x>0 mit [mm] x_{0}=0 [/mm]
[mm] \Rightarrow \a{}f(0)=-1 [/mm] (kein Limes nötig!), [mm] \limes_{x\rightarrow_+0}-x^2=0. [/mm]
> und mit dem [mm]x_{0}[/mm] bei c) hast du recht.
>
> danke schonmal :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:08 Mi 10.12.2008 | | Autor: | haZee |
kannst du mir bei a) nochmal erklären wieso die funktion unstetig ist, obwohl die grenzwerte gleich sind, bitte?
bei b) versteh ich nich wie du auf null kommst bei dem rechtsseitigen GW, wenn ich immer höhere Zahlen ab null einsetze, geht die funktion doch gegen [mm] \infty [/mm] ???
zu c) meinst du so: [(sinx+cos)(sinx-cosx)]/[sinx-cosx]
dann hab ich ja letztendlich nur noch sinx+cosx , stimmts?
ich versteh aber trotzdem nicht wie ich da auf die grenzwerte komme.
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Zu a): Definitionssache. [mm] \pm\infty [/mm] sind keine Grenzwerte, sondern Notationsformen dafür, dass kein Grenzwert existiert.
Zu b): Beachte, dass Du den Grenzwert für [mm] x\rightarrow0 [/mm] bildest, und nicht für [mm] x\rightarrow\infty!
[/mm]
Zu c): Ja, das meine ich. Dennoch darfst Du an den angegebenen Stellen nicht kürzen, weil ja letztlich [mm] \bruch{(\sin{x}+\cos{x})*0}{0} [/mm] steht. Das geht nur über eine Grenzwertbetrachtung. Sie ergibt, von links und von rechts, den gleichen Wert: [mm] \sin{x}+\cos{x}=\wurzel{2}.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 Mi 10.12.2008 | | Autor: | haZee |
ok a) hab ich verstanden :)
c) auch
aber wenn du sagst ich muss aufpassen weil ich gegen null und nich gegen unendlich gehe, verwirrst du mich etwas.
ich muss also zahlenwerte einsetzen bei z.B. : x-->0 ; x<0
wäre das dann also alle Zahlen von [mm] -\infty [/mm] bis 0 oder?
und wenn ich z.B. die funktion von a) nehme muss ich bei x-->5 ; x<5 alle zahlen von [mm] -\infty [/mm] bis 5 einsetzen oder? aber dann komme ich doch gar nicht auf den grenzwert [mm] \infty [/mm] sondern auf den grenzwert 0 , oder?
hoffentlich stell ich mich grad nicht zu blöd an... :(
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> ok a) hab ich verstanden :)
> c) auch
>
> aber wenn du sagst ich muss aufpassen weil ich gegen null
> und nich gegen unendlich gehe, verwirrst du mich etwas.
> ich muss also zahlenwerte einsetzen bei z.B. : x-->0 ;
> x<0
> wäre das dann also alle Zahlen von [mm]-\infty[/mm] bis 0 oder?
Nein, Du lässt x immer näher (hier: "von links") gegen 0 laufen. Wenn Du überhaupt Werte einsetzt, dann nur versuchsweise, um zu sehen, wie die Funktion sich verhält. Vielleicht fängst Du "schon" mit x=-1 an, probierst [mm] x=-\bruch{1}{3}, -\bruch{1}{10}, -\bruch{1}{1000}...
[/mm]
> und wenn ich z.B. die funktion von a) nehme muss ich bei
> x-->5 ; x<5 alle zahlen von [mm]-\infty[/mm] bis 5 einsetzen oder?
Nein, wieder genauso. Du willst möglichst nah ran an die 5. Wenn Du schon probierst, dann vielleicht 4,5 und 4,99 und 4,99999999927 oder so.
> aber dann komme ich doch gar nicht auf den grenzwert [mm]\infty[/mm]
> sondern auf den grenzwert 0 , oder?
Um genau zu sein, kommst Du weder auf den Grenzwert [mm] +\infty [/mm] noch auf 0, sondern auf [mm] \red{-}\infty. [/mm] Ein gerader Pol bleibt es trotzdem.
> hoffentlich stell ich mich grad nicht zu blöd an... :(
Ich nehme an, Grenzwerte sind noch ein bisschen neu für Dich, oder? Dann ist es ganz normal, dass es ein bisschen dauert, bis der Groschen fällt.
Der Sinn von Grenzwertbetrachtungen ist meistens, das Verhalten einer Funktion an einer eigentlich nicht zugänglichen Stelle herauszufinden, ganz egal ob das ein bestimmter (x-)Wert ist, für den die Funktion nicht definiert ist, oder aber das Verhalten im Unendlichen, das man ja auch nicht direkt berechnen kann.
Dazu schaut man sich an, was passiert, wenn man sich so nah wie möglich der Stelle nähert. Manchmal gibt es ja doch etwas zu beobachten, wie bei Aufgabe c, wo an allen Stellen mit [mm] \sin{x}=\cos{x} [/mm] der Nenner 0 wird, und der Zähler auch. Das ist ein nicht definierter Bruch. Mit dem Grenzwert findet man heraus, dass man von links und rechts beliebig nah an die Stelle herankommt und beliebig nah an den Funktionswert [mm] \sin{x}+\cos{x}=\wurzel{2}.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:17 Mi 10.12.2008 | | Autor: | haZee |
danke danke danke :) hast mir wirklich weiter geholfen! lg, hazee
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