Art der Abbildung einer Matrix < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Eine lineare Abbildung f: [mm] \IR^3 [/mm] -> [mm] \IR^3 [/mm] habe bezüglich der kanonischen Basis die Abbildungsmatrix [mm] A=\pmat{ 1 & -6 & -4 \\ 1 & 4 & 2 \\ -1 & -3 & -1 }
[/mm]
Welche Art von Abbildung wird durch A beschrieben? |
Hi, ich habe diese Frage aus einer Probeklausur, wir haben das aber damals nicht in Lineare Algebra behandelt und daher hab ich keinen Anhaltspunkt wie man sowas macht.
Ich nehme an die Arten die die Abbildung haben kann ist Bewegung, Drehung, Spiegelung.
Ich weiß, dass sich Drehung und Spiegelung durch bestimmte Matrizen mit cos- und sin-Werten ausdrücken lassen, habe diese aber bisher nur für [mm] \IR^2 [/mm] gesehen.
Kurz gefragt: wie geht man vor, wenn man solche Aufgaben bearbeiten will?
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Hallo celeste16,
> Eine lineare Abbildung f: [mm]\IR^3[/mm] -> [mm]\IR^3[/mm] habe bezüglich
> der kanonischen Basis die Abbildungsmatrix [mm]A=\pmat{ 1 & -6 & -4 \\ 1 & 4 & 2 \\ -1 & -3 & -1 }[/mm]
>
> Welche Art von Abbildung wird durch A beschrieben?
> Hi, ich habe diese Frage aus einer Probeklausur, wir haben
> das aber damals nicht in Lineare Algebra behandelt und
> daher hab ich keinen Anhaltspunkt wie man sowas macht.
>
> Ich nehme an die Arten die die Abbildung haben kann ist
> Bewegung, Drehung, Spiegelung.
> Ich weiß, dass sich Drehung und Spiegelung durch bestimmte
> Matrizen mit cos- und sin-Werten ausdrücken lassen, habe
> diese aber bisher nur für [mm]\IR^2[/mm] gesehen.
>
> Kurz gefragt: wie geht man vor, wenn man solche Aufgaben
> bearbeiten will?
Bestimme die Eigenwerte der Matrix A.
Gruss
MathePower
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[mm] \lambda_1=1
[/mm]
[mm] \lambda_{2,3}=\bruch{3}{2}\pm\bruch{\wurzel{7}i}{2}
[/mm]
hm. kann mich grad nicht erinnern je mit komplexen EW gearbeitet zu haben. Ist aber doch denke ich zulässig, oder?
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Hallo celeste16,
> [mm]\lambda_1=1[/mm]
> [mm]\lambda_{2,3}=\bruch{3}{2}\pm\bruch{\wurzel{7}i}{2}[/mm]
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> hm. kann mich grad nicht erinnern je mit komplexen EW
> gearbeitet zu haben. Ist aber doch denke ich zulässig,
> oder?
Klar, ist das zulässig.
Gruss
MathePower
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Hallo celeste16,
> ja, und jetzt? :D
Nun, da diese Matrix komplexe Eigenwerte hat,
handelt es sich hier um eine Drehung.
Siehe dazu: ![[]](/images/popup.gif) Drehung und Drehachse
Gruss
MathePower
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hui, das geht mir jetzt zu schnell:
1. ist das generell so, dass wenn ich komplexe eigenwerte heraus bekomme, es sich um eine Drehung handelt (heißt das bei reellen EW kann es sich nich um eine handeln)? oder ist hier die Kombination mit dem EW 1 wichtig?
2. wie sähe es für eine Spiegelung aus, was muss da erfüllt sein? wie für eine verschiebung etc?
3. ich habe den genauen begründungszusammenhang mit den komplexen zahlen nicht aus der quelle folgern können.
ich brauch da einfach noch ein wenig hintergrundinformationen wie sich das zusammen setzt
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Hallo celeste16,
> hui, das geht mir jetzt zu schnell:
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> 1. ist das generell so, dass wenn ich komplexe eigenwerte
> heraus bekomme, es sich um eine Drehung handelt (heißt das
> bei reellen EW kann es sich nich um eine handeln)? oder ist
> hier die Kombination mit dem EW 1 wichtig?
Genau, die Kombination mit dem EW 1 ist wichtig,
>
> 2. wie sähe es für eine Spiegelung aus, was muss da
> erfüllt sein? wie für eine verschiebung etc?
Siehe hier: Eigenvektoren bei linearen Abbildungen
>
> 3. ich habe den genauen begründungszusammenhang mit den
> komplexen zahlen nicht aus der quelle folgern können.
>
> ich brauch da einfach noch ein wenig
> hintergrundinformationen wie sich das zusammen setzt
>
Gruss
MathePower
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