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Arrow-Pratt-Maß: Gleichungsumformung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:21 Do 05.02.2015
Autor: Klemme

Aufgabe
Aufgabe 1 (Diamond-Dybvig Modell)
Gegeben sei eine zweiperiodige Modellökonomie mit drei Zeitpunkten t = 0, 1, 2, in der ein
Gut sowohl konsumiert als auch investiert werden kann. In der Ökonomie lebt eine Vielzahl
von Wirtschaftssubjekten, deren Präferenzen durch folgenden Von-Neumann-Morgenstern
Nutzenindex wiedergegeben seien: [mm] u(c_{t})= ln(2c_{t}-1), [/mm]
wobei ln den natürlichen Logarithmus und [mm] c_{t}> [/mm] 0,5 den Konsum in Zeitpunkt t benennen.
Die Wirtschaftssubjekte verfügen in t = 0 über eine Anfangsausstattung von 1 EUR und
haben Zugang zu einer kosten- und ertraglosen Lagerhaltungstechnologie. Daneben existiert
eine Investitionstechnologie mit folgendem Zahlungsstrom (Zahlung entweder in t = 1oder
in t = 2):
[mm] \begin{Vmatrix} t=0 & t=1 & t=2 \\ -I & 0,8 * I & 2*I \end{Vmatrix} [/mm]

Die Wirtschaftssubjekte sind in t = 0 identisch, unterliegen aber einem Liquiditätsrisiko
und erfahren in t = 1, ob sie bereits in t = 1 oder erst in t = 2 konsumieren müssen. Essei [mm] p_{1}= [/mm] 0,6 der Anteil der Wirtschaftssubjekte, der bereits in t = 1 konsumieren muss. Die Rate der Zeitpräferenz sei [mm] \eta [/mm] = 0,2.

a) Ermitteln Sie das Arrow-Pratt -Maß absoluter und relativer Risikoaversion.
Für

Hallo,

ich weiß schon, was theoretisch raus kommen sollte, aber irgendwo scheint meine Umformung falsch zu sein. Ich hoffe es kann mir jemand helfen.

Hier meine Lösung:
Ableitungen:
[mm] u'(c_{t}) [/mm] = [mm] \bruch{2}{(2 c_{t} -1)} [/mm]
[mm] u''(c_{t}) [/mm] = [mm] \bruch{-4}{(2 c_{t} -1)^2} [/mm]
Für das Arrow-Pratt-Maß absoluter Risikoaversion gilt:
[mm] e(r)=-{\bruch{u''(r)}{u'(r)} } [/mm] (Anm.: r steht für Risikoneigung. Diese wird hier durch den NVM-Index [mm] u(c_{t}) [/mm] wiedergegeben)
[mm] e(c_{t})=-{\bruch{\bruch{-4}{(2 c_{t} -1)^2}}{\bruch{2}{(2 c_{t} -1)}}}= -{\bruch{-4 *(2 c_{t}-1)}{2*(2 c_{t}-1)^2}}= -{\bruch{-4 }{2*(2 c_{t}-1)}}=-{\bruch{-2 }{(2 c_{t}-1)}}={\bruch{2 }{(2 c_{t}-1)}} [/mm] >0
--> Rauskommmen sollte hier laut Lösung [mm] aber:e(c_{t}) ={\bruch{2 }{( c_{t}-1)}} [/mm] >0

Für das Arrow-Pratt-Maß relativer Risikoaversion gilt:
[mm] {\hat e}(r)=-r *{\bruch{u''(r)}{u'(r)} } [/mm]
[mm] \hat e(c_{t})=-c_{t} *{\bruch{\bruch{-4}{(2 c_{t} -1)^2}}{\bruch{2}{(2 c_{t} -1)}}}= -c_{t} *{\bruch{-4 *(2 c_{t}-1)}{2*(2 c_{t}-1)^2}}= -c_{t}*{\bruch{-4 }{2*(2 c_{t}-1)}}=-c_{t}*{\bruch{-2 }{(2 c_{t}-1)}}={\bruch{2 c_{t} }{(2 c_{t}-1)}} [/mm] >0
--> Rauskommmen sollte hier laut Lösung [mm] aber:e(c_{t}) ={\bruch{2 }{( 2*c_{t}-1)}} [/mm] >1

lg
Klemme

        
Bezug
Arrow-Pratt-Maß: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:45 Do 05.02.2015
Autor: Goromolon

ich persönlich finde jetzt grade auch keinen Fehler, was soll denn am Ende rauskommen?

Bezug
                
Bezug
Arrow-Pratt-Maß: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:09 Do 05.02.2015
Autor: Klemme

Das steht direkt unter meinen Lösungen, was eigentlich rauskommen sollte. Vielleicht hat sich auch der Prof. verrechnet?

lg
Klemme

Bezug
        
Bezug
Arrow-Pratt-Maß: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:13 Do 05.02.2015
Autor: Klemme

Hallo,

vielleicht kann man irgendwie noch mehr kürzen, um auf die vorgegebenen Lösungen zu kommen?

lg
Klemmme

Bezug
                
Bezug
Arrow-Pratt-Maß: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:22 Do 05.02.2015
Autor: chrisno

Nein, das geht nicht. Wenn Deine Vorgaben stimmen, dann sind auch Deine Ergebnisse richtig. Insbesondere unterscheiden sich die beiden Maße doch nur um einen Faktor [mm] $c_t$. [/mm] Das kommt bei Dir heraus und bei den "Lösungen" nicht. Kann es sein, dass [mm] $c_t(r)$ [/mm] eine Funktion ist?

Bezug
                        
Bezug
Arrow-Pratt-Maß: Danke :)
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:28 Do 05.02.2015
Autor: Klemme

Hallo chrisno,

laut Aufgabenstellung steht [mm] c_{t} [/mm] für den Konsum. Also istes wohl eine Variable. Na gut. Dann gehe ich davon aus, dass die vorgegebene Lösung falsch ist. Auch nicht so schlimm :).

Danke noch mal an dich und auch Gomorolon für die Antworten.

lg Klemme

Bezug
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