Arkussinus Gesetz < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:02 Fr 29.03.2013 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Wir haben eingeführt bezüglich der Irrfahrten:
[mm] L_{2n} [/mm] = max [mm] \{ k \le 2n : S_k =0 \}
[/mm]
(Zeitpunkt des letzten Besuchs in 0)
Nun hieß es [mm] L_{2n} [/mm] ist diskret Arkussinus verteilt.
[mm] P(L_{2n} [/mm] = n+k) = [mm] P(S_{2n} [/mm] =0) [mm] *P(S_{2n-2k} [/mm] =0)
Als Veranschaulichung was das mit Arcussin zu tun hat:
[mm] P(L_{2n} [/mm] = 2k ) [mm] \cong \frac{1}{\pi \sqrt{k*(n-k)}} [/mm] = 1/n [mm] f(\frac{k}{n}) [/mm]
mit f(x) = [mm] \frac{1}{ \pi \sqrt{x(1-x)}}
[/mm]
Daraus sehen wir:
[mm] P(\frac{L_{2n}}{2n} \le [/mm] z) [mm] \cong \sum_{k:k \le 2n} \frac{1}{n} f(\frac{k}{n}) \cong \int_0^z [/mm] f(x) dx = [mm] \frac{2}{\pi} arcsin(\sqrt{z})
[/mm]
z [mm] \in [/mm] [0,1] |
Hallo
Ich weiß [mm] P(S_{2k} [/mm] =0)= [mm] P(S_{2n-1}=1) \cong \frac{1}{\sqrt{ \pi k}}
[/mm]
Doch wie folgt daraus: [mm] P(S_{2n} [/mm] =0) [mm] *P(S_{2n-2k} [/mm] =0)= [mm] \cong \frac{1}{\pi \sqrt{k*(n-k)}} [/mm] ??
Nächste SChritt ist klar:
[mm] f(\frac{k}{n}) =\frac{1}{\pi * \sqrt{\frac{k}{n} *(1-\frac{k}{n})}} [/mm] = [mm] \frac{1}{\pi \sqrt{\frac{kn-k^2}{n^2}}} [/mm] = [mm] \frac{n}{\pi*\sqrt{k*(n-k)}}
[/mm]
> [mm] P(\frac{L_{2n}}{2n} \le [/mm] z) [mm] \cong \sum_{k:k \le 2n} \frac{1}{n} f(\frac{k}{n}) \cong \int_0^z [/mm] f(x) dx = [mm] \frac{2}{\pi} arcsin(\sqrt{z})
[/mm]
Ich weiß 0 [mm] \le L_{2N} \le [/mm] 2N
-> normiere mit Division durch 2n sodass die Zufallsvariable zwischen 0 und 1 liegt
Aber die (ungefährt) Gleichungskette verstehe ich nicht wirklich...
EDIT:Irrfahrt Begriffe
Grundraum $ [mm] \Omega [/mm] $ = $ [mm] \{ \omega =(\omega_1 ,.., \omega_N): \omega_i \in \{+1,-1\}, i=1,..,N\} [/mm] $
P-Gleichverteilung
Zuvallsvaribalen $ [mm] X_i(\omega)= \omega_i [/mm] $ ,i=1,..,N
$ [mm] S_k (\omega) [/mm] $ = $ [mm] \sum_{i=1}^k X_i (\omega) [/mm] $
$ [mm] S_o (\omega) [/mm] $ =0 (Startposition)
k-> $ [mm] S_k [/mm] $ heißt einfache Irrfahrt mit N Perioden.
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Hiho,
du kennst doch Ausdrücke der Form:
[mm] $\IP(S_{2k} [/mm] = 0) = [mm] \ldots$ [/mm] für beliebiges [mm] $k\in \IN$!
[/mm]
Dann kennst du doch auch den Ausdruck:
[mm] $\IP(S_{2n - 2k} [/mm] = 0) = [mm] \IP(S_{2(n-k)} [/mm] = 0)$.
Ist ja nichts anderes als oben.
Du denkst da wohl einfach zu kompliziert.
[mm] $\IP(S_{2k} [/mm] = 0) * [mm] \IP(S_{2n - 2k} [/mm] = 0)$ ist dann einfach hinschreiben und ein bisschen zusammenfassen.
> Aber die (ungefährt) Gleichungskette verstehe ich nicht wirklich...
Was verstehst du nicht?
Das erste ist einfach einsetzen von dem, was du davor gemacht hast, nämlich [mm] \IP(L_{2n} [/mm] = 2k) berechen.
Bedenke: [mm] $\IP(L_{2n} \le [/mm] z) = [mm] \summe_{k\le z}\IP(L_{2n} [/mm] = k)$
Das zweite ist einfach der Übergang von der Riemannschen Summe zum Integral für ausreichend Große n (schau dir da nochmal die Definition des Riemann-Integrals über Riemann-Summen an).
MFG,
Gono.
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