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Hallo, es geht um folgende Aufgabe:
In der arithmetischen Folge a, a+m,a+2m... seien eine Quadratzahl und eine Kubikzahl. Man zeige, dass sich dann auch eine sechste Potenz in der Folge befindet.
Meine Überlegungen:
Die Voraussetzung ist äquivalent zu der Existenz zweiter Zahlen x,y sodass:
[mm] x^2 \equiv [/mm] a (mod m) und [mm] y^3\equiv [/mm] a (mod m)
Nun wäre (xy)^(6k) [mm] \equiv ((x^2)^{3k})*(y^3)^{2k}) \equiv [/mm] a^(3k)*a^(2k) [mm] \equiv [/mm] a^(5k) (mod m)
Nun sei mal v die Ordnung von a zu m. Ist 5 nicht Teiler von v, so gibt es Zahlen k,q sodass 5k=qv+1.
Dann folgt [mm] a^{5k}\equiv a^{qv+1}\equiv a*(a^v)^q \equiv [/mm] a (mod m) und die Zahl (xy)^6k ist in der arithmetischen Folge.
Das wäre der erste Fall. Aber ich weiß nicht, wie ich vorgehen soll, wenn 5 Teiler von v ist.?!
Habt ihr vielleicht Ideen? :)
Lg, David
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Hallo,
gib' bei Wettbewerbsaufgaben bitte an, aus welchem Wettbewerb welchen Jahres sie stammen.
Gruß v. Angela
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Achso ja sry.. Das ist eine Aufgabe aus einem Korrespondenzbrief. Der ist auf solche Aufgaben ausgerichtet, deswegen die Zuordnung zu Wettbewerbsaufgaben. ;D
Lg, David
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:52 Sa 25.06.2011 | | Autor: | leduart |
hallo
ich würde nicht versuchen [mm] (x*y)^{6k} [/mm] zu zeigen, sondern mit [mm] y^3-x^2=0 [/mm] mod m anfangen, dann faktorisieren , einer der Faktoren muss 0 sein.
vielleicht hilft das weiter?
gruss leduart
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