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| Aufgabe | Gegeben eine arithmetische Folge mit
$ [mm] a_{n} [/mm] \ = \ 107 $
$ d \ \ \ = \ 5.2 $
$ [mm] s_{n} [/mm] \ = \ 123 $
Gesucht:
$ [mm] a_{1} [/mm] $
und
$ n $ |
***** nix rumgepostet*****
Mein Computer (Mathematica 5) und mein Rechner (TI-89) können das. Aber wie berechne ich das ohne elektronische Hilfsmittel?
Ich setze:
[mm] $a_{0} [/mm] \ = \ x \ $
$ \ n-1 \ = y [mm] \$
[/mm]
Für zwei Unbekannte brauche ich zwei Gleichungen.
1. Gleichung:
$ [mm] a_{n} [/mm] \ \ = \ [mm] a_{1} [/mm] \ + \ d \ * \ (n \ - \ 1) $
$ 107 \ = \ x \ + \ 5.2 \ \ * \ y $
daraus
$ y \ = \ [mm] \bruch{107 \ - \ x}{5.2}$
[/mm]
2. Gleichung:
$ [mm] s_{n} [/mm] \ \ = [mm] \summe_{i=0}^{n-1} (a_{1} [/mm] \ + \ d * (n-1))$
$ 123 \ = [mm] \summe_{i=0}^{y} [/mm] (x \ + \ 5.2 * y)$
$y$ aus 1. Gleichung in 2. Gleichung einsetzen:
$ 123 \ = [mm] \summe_{i=0}^{ \bruch{107 \ - \ x}{5.2}} [/mm] (x \ + \ 5.2 * [mm] \bruch{107 \ - \ x}{5.2})$
[/mm]
TI-89 Titanium und Mathematica 5 finden die beiden Lösungen:
$ [mm] x_{1} [/mm] \ = \ -101$
und
$ [mm] x_{2} [/mm] \ = \ \ 106.2$
In die 1. Gleichung die Lösung $ [mm] x_{1}$ [/mm] eingesetzt erhalten wir für [mm] $y_{1}$:
[/mm]
[mm] $y_{1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{107 \ - \ x}{5.2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{107 \ + \ 101}{5.2} [/mm] \ = \ 40 $
damit ist $ n \ = \ 41$
Wenn wir $ [mm] x_{2}$ [/mm] einsetzen, erhalten wir für [mm] $y_{2}$:
[/mm]
[mm] $y_{2} [/mm] \ = \ 0.153846 $
Da die 2. Lösung nicht $ [mm] \in \IN [/mm] $ ist, kommt sie nicht in Frage.
Meine Fragen:
1. Ist die Ausrechnung richtig ?
2. Wie geht das ohne technische Hilfsmittel.
Herzliche Grüsse aus dem sturmumfegten Zürich
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> Gegeben eine arithmetische Folge mit
>
> [mm]a_{n} \ = \ 107[/mm]
>
> [mm]d \ \ \ = \ 5.2[/mm]
>
> [mm]s_{n} \ = \ 123[/mm]
>
> Gesucht:
>
> [mm]a_{1}[/mm]
>
> und
>
> [mm]n[/mm]
> ***** nix rumgepostet*****
>
> Mein Computer (Mathematica 5) und mein Rechner (TI-89)
> können das. Aber wie berechne ich das ohne elektronische
> Hilfsmittel?
>
> Ich setze:
>
> [mm]a_{0} \ = \ x \[/mm]
>
> [mm]\ n-1 \ = y \[/mm]
>
> Für zwei Unbekannte brauche ich zwei Gleichungen.
Sehr gut.
>
> 1. Gleichung:
>
> [mm]a_{n} \ \ = \ a_{1} \ + \ d \ * \ (n \ - \ 1)[/mm]
>
> [mm]107 \ = \ x \ + \ 5.2 \ \ * \ y[/mm]
>
> daraus
>
> [mm]y \ = \ \bruch{107 \ - \ x}{5.2}[/mm]
>
>
> 2. Gleichung:
>
> [mm]s_{n} \ \ = \summe_{i=0}^{n-1} (a_{1} \ + \ d * (n-1))[/mm]
Also, offen gesagt, dies ist eine merkwürdige Summe: der Index [mm]i[/mm] wird gar nicht verwendet....
>
> [mm]123 \ = \summe_{i=0}^{y} (x \ + \ 5.2 * y)[/mm]
>
> [mm]y[/mm] aus 1. Gleichung in 2. Gleichung einsetzen:
>
> [mm]123 \ = \summe_{i=0}^{ \bruch{107 \ - \ x}{5.2}} (x \ + \ 5.2 * \bruch{107 \ - \ x}{5.2})[/mm]
>
Also ich würde nicht so schnell mit Zahlen rangehen, sondern das fragliche Gleichungssystem erst mal etwa so hinschreiben:
[mm]a_n = a_1 + d\cdot (n-1)[/mm]
[mm]s_n = n\cdot \frac{a_1+a_n}{2}[/mm]
Bis auf zwei der auftretenden Grössen kennst Du alles. Vielleicht wunderst Du Dich über die relativ einfache zweite Gleichung: Dieses Verfahren, den Wert einer arithmetischen Reihe zu berechnen, war bekanntlich eine Idee des kleinen C.F.Gauss.
> TI-89 Titanium und Mathematica 5 finden die beiden
> Lösungen:
Um das von mir vorgeschlagene Gleichungssystem für die unbekannten Grössen [mm]a_1[/mm] und [mm]n[/mm] zu lösen, brauchst Du keinen Vorschlaghammer.
>
> [mm]x_{1} \ = \ -101[/mm]
> und
> [mm]x_{2} \ = \ \ 106.2[/mm]
>
> In die 1. Gleichung die Lösung [mm]x_{1}[/mm] eingesetzt erhalten
> wir für [mm]y_{1}[/mm]:
>
> [mm]y_{1} \ = \ \bruch{107 \ - \ x}{5.2} \ = \ \bruch{107 \ + \ 101}{5.2} \ = \ 40[/mm]
>
> damit ist [mm]n \ = \ 41[/mm]
>
> Wenn wir [mm]x_{2}[/mm] einsetzen, erhalten wir für [mm]y_{2}[/mm]:
>
> [mm]y_{2} \ = \ 0.153846[/mm]
Um, nicht etwa 1.153846?
>
> Da die 2. Lösung nicht [mm]\in \IN [/mm] ist, kommt sie nicht in
> Frage.
>
> Meine Fragen:
> 1. Ist die Ausrechnung richtig ?
Also die Lösung [mm]a_1 = -101[/mm] und [mm]n=41[/mm] ist meiner Meinung nach richtig. Warum Du hier mit den Variablennamen [mm]x, y[/mm] operierst ist mir allerdings ein Rätsel. Ist es nicht ein relativ fehlerträchtiges Unterfangen, so nichtssagende Namen anstelle der von der Aufgabenstellung her suggerierten zu verwenden?
> 2. Wie geht das ohne technische Hilfsmittel.
Also eben: man löst das oben von mir vorgeschlagene Gleichungssysten. Etwa indem man die erste Gleichung nach [mm]a_1[/mm] (oder, auch gut, nach [mm]n[/mm]) auflöst und diese Variable dann aus der zweiten Gleichung durch Substitution eliminiert: ergibt eine quadratische Gleichung für [mm]n[/mm] (bzw. für [mm]a_1[/mm]).
> Herzliche Grüsse aus dem sturmumfegten Zürich
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