Archimedische Eigenschaft < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei [mm] k\in \mathbb [/mm] N. Zeigen Sie: es existiert ein [mm] n_{1}\in\mathbb [/mm] N so, dass
[mm] \forall n\geq n_{1}:(n-k)\geq (\frac{n}{2} [/mm] ). Insbesondere ist dann auch
[mm] (n-k)^{k+1} \geq (\frac{n}{2} )^{k+1} [/mm] |
Ich bräuchte bitte eine kleine Starthilfe bei diesem Beispiel. Das "größer-gleich" zwischen (n-k) und dem Bruch sollte ein "größer-als" sein. Ich bedanke mich schon einmal im voraus.
|
|
| |
|
Hallo Tsetse,
das geht doch mit zwei Äquivalenzumformungen:
|*2
|+k-n
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
Nach diesen beiden Äquivalenzumformungen erhalte ich folgendes:
[mm] 2*n-2*k\ge [/mm] n
[mm] 2n-2k+k-n\ge [/mm] n+k-n
[mm] n-k\ge [/mm] k
n [mm] \ge [/mm] 2k
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:40 Sa 24.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo,
wie muss du also n1 wählen?
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
[mm] n_{1} \ge [/mm] 2k
[mm] n\gen_{1}\ge2k [/mm] => [mm] n\ge2k
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:25 Sa 24.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, wähl besser ein festes n1=2k oder 2k+1
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Ok, Danke für deine Hilfe. Für k+1 schaut das ganze dann so aus:
[mm] (n-k)^{k+1}\ge(\bruch{n}{2})^{k+1}
[/mm]
[mm] (n-k)^{k}*(n-k)\ge(\bruch{n}{2})^{k}*\bruch{n}{2}
[/mm]
Jetzt muss man zeigen:
1.) [mm] (n-k)^{k}\ge(\bruch{n}{2})^{k} [/mm] Folgt aus obigem Beweis.
2.) [mm] (n-k)\ge(\bruch{n}{2}) [/mm] => Haben wir bereits beweisen
Vorraussetzung ist jedoch, dass [mm] (n-k)\in [/mm] der natürlichen Zahlen ist.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:18 Sa 24.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
was war jetzt die Frage?
du hast das ja als Induktionsbeweis schon praktisch gemcht.
Gruss leduart
|
|
|
|
