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Archimedische Eigenschaft: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:06 Do 06.11.2014
Autor: sissile

Aufgabe
1) Sei k [mm] \in \IN. [/mm] Zeigen Sie: es existiert ein [mm] n_1 \in \IN [/mm] so,dass
[mm] \forall [/mm] n [mm] \ge n_1 [/mm] : (n-k) [mm] >(\frac{n}{2}). [/mm]
Insbesondere ist dann auch [mm] (n-k)^{k+1} >(n/2)^{k+1} [/mm]
2) Sei x>0. Zeigen Sie: es existiert ein [mm] n_2 \in \IN [/mm] so,dass
[mm] \forall n\ge n_2: (1+x)^n >n^k [/mm]

Hallo zusammen,

Leider versage ich bei solch einer leichten Aufgabe fürs Repetitorium;(
1) ist klar,
wähle [mm] \epsilon:=\frac{1}{2k} [/mm] >0
Nach der Archimedischen Eigenschaft [mm] \exists n_1 \in \IN:\frac{1}{n_1} <\epsilon=\frac{1}{2k} [/mm]
[mm] \forall [/mm] n [mm] \ge n_1 [/mm] gilt [mm] \frac{1}{n} \le \frac{1}{n_1} [/mm] und demnach [mm] \frac{1}{n} [/mm] < [mm] \frac{1}{2k} [/mm]
Umformungen der letzten Ungleichung ergeben was zuzeigen ist.
[mm] \frac{1}{n} [/mm] < [mm] \frac{1}{2k} \gdw [/mm] 2k <n [mm] \gdw [/mm] -k [mm] <-\frac{n}{2} \gdw [/mm] -k> [mm] \frac{n}{2}-n \gdw [/mm] n-k [mm] >\frac{n}{2} [/mm]

Induktiv folgt: [mm] \forall [/mm] t [mm] \in \IN: [/mm]
[mm] \exists n_1 \in \IN: \forall [/mm] n [mm] \ge n_1: (n-k)^t [/mm] > [mm] (\frac{n}{2})^t [/mm]
Induktionsanfang: siehe oben
Induktionsannahme für t
Induktionsschritt: [mm] t\Rightarrow [/mm] t+1
[mm] (n-k)^{t+1} [/mm] > [mm] (\frac{n}{2})^t [/mm] (n-k) [mm] \underbrace{>}_{I-Anfang} (\frac{n}{2})^{t+1} [/mm]

Gleichung gilt dann natürlich insbesondere für k+1


Der Schuh drückt bei 2)
2)
Ich hab einiges probiert mit Binomischen Lehrsatz, archimedische Eigenschaft sowie den Punkt a). Aber nichts haut hin...
Wäre dankbar für einen Tip!!

        
Bezug
Archimedische Eigenschaft: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:56 Do 06.11.2014
Autor: fred97

Was mir spontan zu 2) einfällt:

setze [mm] a_n: =\bruch{(1+x)^n}{n^k} [/mm]  (n [mm] \in \IN). [/mm]

Dann ist [mm] \wurzel[n]{a_n}=\bruch{1+x}{(\wurzel[n]{n})^k}. [/mm]

Es gilt also:  [mm] $\wurzel[n]{a_n} \to [/mm] 1+x$  für $n [mm] \to \infty$ [/mm]

Da x>0 ist, gibt es ein [mm] n_2 \in \IN [/mm] mit: [mm] \wurzel[n]{a_n}> [/mm] 1 für n [mm] \ge n_2. [/mm]

Damit haben wir auch: [mm] a_n>1 [/mm]  für n [mm] \ge n_2. [/mm]

FRED

P.S.

Deine Lösung zu 1) ist O.K.

Bezug
                
Bezug
Archimedische Eigenschaft: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:14 Fr 07.11.2014
Autor: sissile

Hallo Fred,
danke für deine Antwort.

> Da x>0 ist, gibt es ein $ [mm] n_2 \in \IN [/mm] $ mit: $ [mm] \wurzel[n]{a_n}> [/mm] $ 1 für n $ [mm] \ge n_2. [/mm] $

Braucht man dazu nicht eine Monotonie der Funktion [mm] \wurzel[n]{a_n}? [/mm]


Eigentlich sollte das Bsp ohne Limes, sondern mittels Archimedischen Prinzip gelöst werden. Deshalb bin ich noch auf der Suche nach einer Lösung in diesem Prinzip. Auch wenn ich Fred´s Lösungsweg sehr gut finde.
Da x>0 kann ich ja die Bernoulligleichung anwenden:
[mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN: (1+x)^n \ge [/mm] 1+nx

Jetzt müsste man nur noch zeigen, dass ein n existiert ab dem gilt:
1+nx > [mm] n^k [/mm] für x>0, [mm] k\in \IN [/mm] beliebig
Ich hab da mit Induktion herumprobiert ein n zu finden, ab dem das gilt - bin aber noch nicht darauf gekommen.

LG,
sissi


Bezug
                        
Bezug
Archimedische Eigenschaft: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:41 Fr 07.11.2014
Autor: fred97


> Hallo Fred,
>  danke für deine Antwort.
>  > Da x>0 ist, gibt es ein [mm]n_2 \in \IN[/mm] mit:

> [mm]\wurzel[n]{a_n}>[/mm] 1 für n [mm]\ge n_2.[/mm]
>  Braucht man dazu nicht
> eine Monotonie der Funktion [mm]\wurzel[n]{a_n}?[/mm]

Nein. Ist [mm] (c_n) [/mm] eine konvergente Folge, c ihr Limes und x<c, so ex. ein [mm] n_0 [/mm] in [mm] \IN [/mm] mit [mm] c_n [/mm] >x für alle n [mm] \ge n_0. [/mm]


>  
>
> Eigentlich sollte das Bsp ohne Limes, sondern mittels
> Archimedischen Prinzip gelöst werden. Deshalb bin ich noch
> auf der Suche nach einer Lösung in diesem Prinzip. Auch
> wenn ich Fred´s Lösungsweg sehr gut finde.
>  Da x>0 kann ich ja die Bernoulligleichung anwenden:
>  [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN: (1+x)^n \ge[/mm] 1+nx
>  
> Jetzt müsste man nur noch zeigen, dass ein n existiert ab
> dem gilt:
>  1+nx > [mm]n^k[/mm] für x>0, [mm]k\in \IN[/mm] beliebig

>  Ich hab da mit Induktion herumprobiert ein n zu finden, ab
> dem das gilt - bin aber noch nicht darauf gekommen.

Das wundert mich nicht.

" 1+nx > [mm]n^k[/mm] für x>0, [mm]k\in \IN[/mm] beliebig"  ist i.a. falsch.

Nimm [mm] x=\bruch{1}{2} [/mm] und k=1.

Die Ungleichung [mm] 1+n*\bruch{1}{2} [/mm] >n ist nur für ein einziges n [mm] \in \IN [/mm] richtig. Für welches ?

FRED

>  
> LG,
>  sissi
>  


Bezug
                                
Bezug
Archimedische Eigenschaft: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 17:36 Fr 07.11.2014
Autor: sissile


> > Hallo Fred,
>  >  danke für deine Antwort.
>  >  > Da x>0 ist, gibt es ein [mm]n_2 \in \IN[/mm] mit:

> > [mm]\wurzel[n]{a_n}>[/mm] 1 für n [mm]\ge n_2.[/mm]
>  >  Braucht man dazu
> nicht
> > eine Monotonie der Funktion [mm]\wurzel[n]{a_n}?[/mm]
>  
> Nein. Ist [mm](c_n)[/mm] eine konvergente Folge, c ihr Limes und
> x<c, so ex. ein [mm]n_0[/mm] in [mm]\IN[/mm] mit [mm]c_n[/mm] >x für alle n [mm]\ge n_0.[/mm]

Sei also x>0 folgt Grenzwert c>0

Da [mm] c_n [/mm] konvergent gegen c ist:
[mm] \forall \epsilon:\exists [/mm] N: n [mm] \ge [/mm] N : [mm] |c_n [/mm] -c| < [mm] \epsilon [/mm]
Wähle [mm] \epsilon=c-x [/mm] >0
[mm] c-x=\epsilon>|c_n-c|\ge |c|-|c_n| [/mm]
d.h. [mm] |c_n| \ge [/mm] |c| - (c-x)
Dann gilt [mm] |c_n| \ge [/mm] x , da c>0

Lg,
sissi

Bezug
                                        
Bezug
Archimedische Eigenschaft: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:21 So 09.11.2014
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Archimedische Eigenschaft: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 17:40 Fr 07.11.2014
Autor: sissile

Hallo,
Hat noch wer einen Tipp, wie man Punkt 2) mit der archimedischen Eigenschaft+Punkt 1) beweisen kann?
Liebe Grüße,
sissi

Bezug
                
Bezug
Archimedische Eigenschaft: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:21 So 09.11.2014
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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