Arbeit mit Kurvenintegral < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:22 Mo 05.12.2011 | | Autor: | Quinix |
| Aufgabe | Ein Radfahrer fährt mit seinem Mountainbike auf der Bahnkurve:
c(t) := ( [mm] \wurzel{2\pi - t}*cos(t), \wurzel{2\pi - t}*sin(t) [/mm] , t)
zum Gipfel des elliptischen Paraboloids [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] + z = [mm] 2\pi. [/mm] Er umkreist den Berg dabei einmal (Zeit 0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le 2\pi). [/mm] Welche Arbeit wendet er auf, wenn er beim Treten konstant 200 N parallel zur Wegrichtung auf den Bergweg überträgt? |
Hallo liebe Community,
also die Arbeit ist ja definiert als: W = [mm] \integral_{a}^{b}{F(s) ds}.
[/mm]
Als erstes habe ich mir überlegt, dass die Integrationsgrenzen eben 0 und [mm] 2\pi [/mm] sein müssten.
Anschließend habe ich versucht mein Vektorfeld F zu definieren und dachte es wäre: (0 ; 0 ; 200).
Dann habe ich die Ableitung meiner Kurve bestimmt.
Nun habe ich gedacht, muss ich das Skalarprodukt von meinem Kraftfeld und meiner Ableitung des Kurvenintegrals bilden muss.
Das führt zu:
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{200 dt}
[/mm]
Was bestimmt völliger Käse ist.
Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:19 Di 06.12.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ein Radfahrer fährt mit seinem Mountainbike auf der
> Bahnkurve:
> c(t) := ( [mm]\wurzel{2\pi - t}*cos(t), \wurzel{2\pi - t}*sin(t)[/mm]
> , t)
> zum Gipfel des elliptischen Paraboloids [mm]x^{2}[/mm] + [mm]y^{2}[/mm] + z =
> [mm]2\pi.[/mm] Er umkreist den Berg dabei einmal (Zeit 0 [mm]\le[/mm] t [mm]\le 2\pi).[/mm]
> Welche Arbeit wendet er auf, wenn er beim Treten konstant
> 200 N parallel zur Wegrichtung auf den Bergweg
> überträgt?
> Hallo liebe Community,
> also die Arbeit ist ja definiert als: W =
> [mm]\integral_{a}^{b}{F(s) ds}.[/mm]
> Als erstes habe ich mir
> überlegt, dass die Integrationsgrenzen eben 0 und [mm]2\pi[/mm]
> sein müssten.
> Anschließend habe ich versucht mein Vektorfeld F zu
> definieren und dachte es wäre: (0 ; 0 ; 200).
> Dann habe ich die Ableitung meiner Kurve bestimmt.
> Nun habe ich gedacht, muss ich das Skalarprodukt von
> meinem Kraftfeld und meiner Ableitung des Kurvenintegrals
> bilden muss.
> Das führt zu:
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{200 dt}[/mm]
Nein, da stimmt schon die Dimension nicht: das ergibt eine Zahl, keine Arbeit. Du musst die Definition des Kurvenintegrals einsetzen:
[mm] \integral_{a}^{b}{F(s) ds} = \integral_0^{2\pi} F(c(t)) * c'(t)\, dt [/mm] .
Der Betrag der Kraft ist 200N, aber du musst für das Skalarprodukt zwischen $F$ und $c'$ die Richtung der Kraft richtig einsetzen. Welche Richtung hat der Kraftvektor?
Viele Grüße
Rainer
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