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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:37 Fr 17.04.2009 | | Autor: | Ultio |
| Aufgabe | Geben Sie die optimalen Konstanten c,C > 0 an, für welche die Ungleichung
c [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_{1} \le \parallel [/mm] x [mm] \parallel_{2} \le [/mm] C [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_{1}
[/mm]
für alle x [mm] \in \IR [/mm] ^{n} erfüllt ist. |
Hey,
Ich hab gerade einige Stolpersteine in den Weg gelegt bekommen. Wäre nett wenn mir die jemand bitte aus dem Weg schafft. Vielen Dank.
nach Umformung kommt man auf:
c [mm] \summe_{i=1}^{n} |x_{i}| \le \wurzel[2]{\summe_{i=1}^{n} |x_{i}|^{2}} \le [/mm] C [mm] \summe_{i=1}^{n} |x_{i}|
[/mm]
und dann hört bei mir die Logik auf, denn beim Einsetzen von (1)(1,0) ist in der euklidischen Norm immer kleiner, und dann komm ich doch auf kein c >0 oder etwa doch?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:21 Fr 17.04.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Geben Sie die optimalen Konstanten c,C > 0 an, für welche
> die Ungleichung
>
> [mm]c \parallel x \parallel_{1} \le \parallel x \parallel_{2} \le C \parallel x \parallel_{1} [/mm] für alle [mm]x \in \IR^{n}[/mm] erfüllt ist.
> Hey,
> Ich hab gerade einige Stolpersteine in den Weg gelegt
> bekommen. Wäre nett wenn mir die jemand bitte aus dem Weg
> schafft. Vielen Dank.
>
> nach Umformung kommt man auf:
> [mm] c \summe_{i=1}^{n} |x_{i}| \le \wurzel[2]{\summe_{i=1}^{n} |x_{i}|^{2}} \le C \summe_{i=1}^{n} |x_{i}|[/mm]
>
> und dann hört bei mir die Logik auf, denn beim Einsetzen
> von (1)(1,0) ist in der euklidischen Norm immer kleiner,
Was du hier meinst, verstehe ich nicht.
> und dann komm ich doch auf kein c >0 oder etwa doch?
Doch.
Tipp: betrachte die beiden Ungleichungen getrennt, also
[mm] c \summe_{i=1}^{n} |x_{i}| \le \wurzel[2]{\summe_{i=1}^{n} |x_{i}|^{2}} [/mm]
und
[mm] \wurzel[2]{\summe_{i=1}^{n} |x_{i}|^{2}} \le C \summe_{i=1}^{n} |x_{i}|[/mm]
In beiden Fällen würde ich beide Seiten quadrieren und mir überlegen, wie die beiden Konstanten aussehen müssen. Für C in der zweiten Ungleichung ist das ganz einfach.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:10 Mo 20.04.2009 | | Autor: | Ultio |
Vielen Dank.
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