Apsolute Geometrie < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:39 Mi 28.12.2005 | | Autor: | sara_20 |
Aufgabe 1:
| Aufgabe | Es ist mit Hilfe nur von Absoluter Geometrie zu beweisen:
Wenn der Schnittpunkt der Diagonalen eines Tangentenvierecks übereinstimmt mit dem Zentrum des Inkreises, dann sind alle Seiten des Vierecks gleich. |
Es gibt ein Lema das sagt: wenn sich drei Winkelsimetralen eines Vierecks in einem Punkt schneiden, dann geht durch diesen Punkt auch die vierte Winkelsimetrale und dieser Punkt ist das Zentrum des Inkreises des Vierecks.
Ich dachte diese Lema koennte mir weiterhelfen, aber ich komme einfach nicht weiter.
Ich finde diese Aufgabe ziemlich wichtig, denn durch sie ist dann ganz leicht zu beweisen dass jedes Romb einen Inkreis hat.
Ich habe diese Frage in keinen anderen Foren gestellt.
Viele Gruesse und Danke im Vorraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:11 Mi 28.12.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo sara_20
Ich weiss zwar nicht was absolute(?) Geometrie ist, beantworte die Frage aber trotzdem.
Sei ABCD das Tangentenviereck.
Wenn der Inkreismittelpunkt auf der Diagonale AC ist, dann ist die Diagonale auch Winkelhalbierende der Winkel [mm] $\alpha$ [/mm] und [mm] $\gamma$. [/mm] Daraus kann man zwei Dinge schliessen:
i) [mm] $\beta=\delta$, [/mm] da wegen der Winkelsumme im Dreieck ABC gilt
[mm] $\beta=180°-\alpha/2-\gamma/2$ [/mm] und analog im Dreieck ACD gilt
[mm] $\delta=180°-\alpha/2-\gamma/2$.
[/mm]
Weil das ganze auch für die Diagonale BD gilt, muss daher auch
[mm] $\alpha=\gamma$ [/mm] sein und daher ist ABCD ein Parallelogramm.
ii) Die Dreiecke [mm] $\triangle ABC\cong\triangle [/mm] ADC$ (wsw) sind
kongruent, denn [mm] $\sphericalangle CAB=\sphericalangle CAD=\alpha/2$,
[/mm]
Seite AC haben sie gemeinsam und [mm] $\sphericalangle BCA=\sphericalangle DCA=\gamma/2$. [/mm] Daraus folgt,
dass BC=DC ist.
Aus i) und ii) folgt, dass das Viereck ein Parallelogramm mit gleichlangen Seiten ist.
mfG Moudi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:05 Do 29.12.2005 | | Autor: | sara_20 |
Apsolute Geometrie ist wo alle Axiome der I bis IV Gruppe gelten, es gilt aber nicht das V Axiom, also das Euklid: man weiss also nicht dass es parallele Geraden gibt, also auch nicht dass die Winkelsumme im Dreieck gleich 180 ist. Man weiss nur dass sie kleiner oder gleich ist.
So ist ii) gut, aber i) kann man nicht so in der Apsoluten Geometrie beweisen.
Ich danke trotzdem.
Wuerde mich freuen wenn du auch i) mit Hilfe von Apsoluter Geometrie beweisen koenntest.
Danke.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:22 Do 29.12.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo sara_20
Dann wendet man den Punkt ii) auch für die Diagonale BD an und zeigt
so, dass je zwei benachbarte Seiten des Vierecks gleich lang sind, und
damit ist die Aufgabe gelöst, man benötigt i) gar nicht.
mfG Moudi
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