Approximation von Höhenlinien < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:41 Do 21.01.2016 | | Autor: | Mathics |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion
f(x,y) = [mm] x^{1/2}*y^{1/2}
[/mm]
Berechnen Sie die Steigung dy/dx der Höhenlinie am Punkt (4,9). Was bedeutet das Vorzeichen der Steigung? Approximieren Sie die Höhenlinie. |
Hallo,
Da wir die Steigung dy/dx berechnen sollen, können wir zunächst einmal die Gleichung für die Höhenlinien c = [mm] x^{1/2}*y^{1/2} [/mm] nach y auflösen und bekommen
y(x) = [mm] \bruch{c^{2}}{x}
[/mm]
Wenn wir das nach x ableiten, haben wir
[mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = - [mm] \bruch{c^{2}}{x^{2}}
[/mm]
Da wir die Steigung am Punkt (x,y)=(4,9) betrachten wollen, ersetzen wir c wieder durch [mm] x^{1/2}*y^{1/2} [/mm] und haben
[mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = - [mm] \bruch{(x^{1/2}*y^{1/2})^{2}}{x^{2}} [/mm] = - [mm] \bruch{y}{x} [/mm] = - [mm] \bruch{9}{4}
[/mm]
als Steigung im Punkt (4,9)
Man hätte auch direkt das totale Differential benutzen können, sodass
[mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = - [mm] \bruch{f_{x}}{f_{y}} [/mm] = - [mm] \bruch{y}{x} [/mm] = - [mm] \bruch{9}{4}
[/mm]
Die explizite Gleichung für die Höhenlinie hat die Form y = a*x + b
Uns fehlt also noch das b.
Das erhalten wir folgendermaßen:
9 = - [mm] \bruch{9}{4} [/mm] * 4 + b
b = 9 + [mm] \bruch{9}{4} [/mm] * 4
Die explizite Gleichung für die Höhenlinie lautet somit:
f(x) [mm] \approx [/mm] - [mm] \bruch{9}{4} [/mm] * x + 9 + [mm] \bruch{9}{4} [/mm] * 4 = 9 [mm] -\bruch{9}{4} [/mm] *(x-4)
In der offiziellen Lösung steht als Ergebnis: f(x) [mm] \approx [/mm] 4 [mm] -\bruch{9}{4} [/mm] *(x-4)
Ist meine Rechnung falsch? Oder hat die offizielle Lösung einen Tippfehler?
Wieso ist die Gleichung für die Höhenlinie eigentlich nur eine Approximation? Weil die erste Ableitung nur eine Approximation der Steigung der Höhenlinie ist?
Danke!
LG
Mathics
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:14 Do 21.01.2016 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Gegeben sei die Funktion
>
> f(x,y) = [mm]x^{1/2}*y^{1/2}[/mm]
>
> Berechnen Sie die Steigung dy/dx der Höhenlinie am Punkt
> (4,9). Was bedeutet das Vorzeichen der Steigung?
> Approximieren Sie die Höhenlinie.
> Hallo,
>
> Da wir die Steigung dy/dx berechnen sollen, können wir
> zunächst einmal die Gleichung für die Höhenlinien c =
> [mm]x^{1/2}*y^{1/2}[/mm] nach y auflösen und bekommen
>
> y(x) = [mm]\bruch{c^{2}}{x}[/mm]
>
> Wenn wir das nach x ableiten, haben wir
>
> [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] = - [mm]\bruch{c^{2}}{x^{2}}[/mm]
>
> Da wir die Steigung am Punkt (x,y)=(4,9) betrachten wollen,
> ersetzen wir c wieder durch [mm]x^{1/2}*y^{1/2}[/mm] und haben
>
> [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] = - [mm]\bruch{(x^{1/2}*y^{1/2})^{2}}{x^{2}}[/mm] = -
> [mm]\bruch{y}{x}[/mm] = - [mm]\bruch{9}{4}[/mm]
>
> als Steigung im Punkt (4,9)
Das ist dann die Steigung un x-Richtung, auch wenn deine Notation zum Teil sehr seltsam ist.
>
> Man hätte auch direkt das totale Differential benutzen
> können, sodass
>
> [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] = - [mm]\bruch{f_{x}}{f_{y}}[/mm] = - [mm]\bruch{y}{x}[/mm] =
> - [mm]\bruch{9}{4}[/mm]
>
> Die explizite Gleichung für die Höhenlinie hat die Form y
> = a*x + b
>
> Uns fehlt also noch das b.
>
> Das erhalten wir folgendermaßen:
>
> 9 = - [mm]\bruch{9}{4}[/mm] * 4 + b
> b = 9 + [mm]\bruch{9}{4}[/mm] * 4
Und das kannst du doch noch zu b=18 ausrechnen.
>
> Die explizite Gleichung für die Höhenlinie lautet somit:
>
> f(x) [mm]\approx[/mm] - [mm]\bruch{9}{4}[/mm] * x + 9 + [mm]\bruch{9}{4}[/mm] * 4 = 9
> [mm]-\bruch{9}{4}[/mm] *(x-4)
>
> In der offiziellen Lösung steht als Ergebnis: f(x) [mm]\approx[/mm]
> 4 [mm]-\bruch{9}{4}[/mm] *(x-4)
>
> Ist meine Rechnung falsch? Oder hat die offizielle Lösung
> einen Tippfehler?
> Wieso ist die Gleichung für die Höhenlinie eigentlich
> nur eine Approximation? Weil die erste Ableitung nur eine
> Approximation der Steigung der Höhenlinie ist?
Diese Höhenlinie gilt nur an eben diesem speziellen Punkt, sobald du dich ein bisschen von diesem Punkt fortbewegst, würden andere Höhenlinien gelten.
>
> Danke!
>
> LG
> Mathics
Marius
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:21 Do 21.01.2016 | | Autor: | Mathics |
Ist denn nun meine Lösung oder die offizielle Lösung richtig?
LG
Mathics
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:24 Fr 22.01.2016 | | Autor: | fred97 |
Da ging ja einiges in die Hose !
Für c [mm] \ge [/mm] 0 ist die Höhenlinie gegeben durch
[mm] H_c:=\{(x,y) \in \IR^2: x \ge 0, y \ge 0 , f(x,y)=c\}.
[/mm]
Nun soll (4,9) [mm] \in [/mm] H sein, also ist zunächst c so zu bestimmen, dass c=f(4,9) ist. Damit ist c=6. Es ist also
[mm] H_6=\{(x,y) \in \IR^2: x \ge 0, y \ge 0 , xy=36\}.
[/mm]
Für x>0 haben wir [mm] $y=y(x)=\bruch{36}{x}$ [/mm] und somit
[mm] $y'(x)=-\bruch{36}{x^2}$ [/mm]
Die gesuchte Steigeung ist also $y'(4)=- [mm] \bruch{9}{4}$.
[/mm]
Nun schreibst Du:
"Die explizite Gleichung für die Höhenlinie hat die Form $y = a*x + b $.
Das ist natürlich Unfug ! Ich entnehme der "offiziellen Lösung" (die falsch ist), dass mit "Approximation" wohl folgendes gemeint ist:
"ersetze im Punkt (4,9) die Höhenlinie durch ihre Tangente im Punkt (4,9)".
Zu bestimmen ist also die Tangente an den Graphen der Funktion [mm] $y=y(x)=\bruch{36}{x}$ [/mm] in (4,9).
Die Tangentengleichung hat die Form
$t(x)=ax+b$.
Deine Rechnung war richtig, denn es ist
$t(x)=9 [mm] -\bruch{9}{4} [/mm] *(x-4) $.
FRED
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