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Approximation einer Funktion: stückweise definierte Fkt.
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:55 Fr 05.10.2012
Autor: TrafficJunkie

Hallo,

Zunächsteinmal, dies ist keine Frage für ein Hausaufgabenblatt zum Studium sondern ein mathematisches Problem welches ich in meiner Freizeit habe :-)

Es geht maßgeblich um das Fundamentaldiagramm des Verkehrsflusses. Dieses kann durch drei Funktionen (Fluss-Dichte, Geschwindigkeit-Dichte, und Fluss-Stomgeschwindigkeit) ausgedrückt werden. Die Kurven lassen sich alle untereinander umrechnen.

Hier mal ein Beispiel wie das Fundamentaldiagramm aussieht:
[]http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/archive/7/7f/20110730130654!Fundamentaldiagramm.PNG

Besonders interessieren tut mich das unterste Diagramm, die Fluss-Dichte Relation. Diese habe ich wie es aus dem Lighthill-Whitham-Richards Modell bekannt ist umständlich hergeleitet. Dies ist eine komplizierte, stückweise definierte Funktion. Leider kann man damit sogut wie gar nicht anständig Rechnen (zum Beispiel müsste ich über das Diagramm Integrieren).

Jetzt suche ich eine Möglichkeit, das Diagramm annäherungsweise durch eine einfach zu rechende Funktion zu Approximieren.

Vorgegeben sein sollte nur [mm] D_{max}, Q_{max} [/mm] und die x-Koordinate des lokalen Maximums [mm] Q_{max}. [/mm]

Habt ihr eine Idee wie man eine solche Kurve einfach, stetig approximieren könnte?

Vielleicht durch ein Polynom welches auf dem Intervall [mm] \{0 ... D_{max}\} [/mm] ungefähr so aussieht? Gerne auch ganz kuriose dinge wie Produkte von Sinusen oder sowas.

Alternativ kann man auch die erste Funktion approximieren. Vielleicht könnte man da irgendwas mit dem Arctan basteln? Was meint ihr?


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Approximation einer Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:49 Fr 05.10.2012
Autor: Event_Horizon

Hallo!

So ein konstanter Teil läßt sich meist gut mit einer Asymptoten approximieren.

Ich habe grade mal

[mm] $-\exp(-x)-0,1x+1$ [/mm]

geplottet, das kommt deiner Funktion schon sehr sehr nahe.  Der Parameter 0,1 ist die Steigung des rechten Teils, die Anfangssteigung und damit die Position des Maximums läßt sich sicher durch einen entsprechenden Faktor vor der e-Funktion bestimmen.

Ich denke, du kannst das sicher so hin biegen, daß du die Position des Maximums sowie des Nulldurchgangs rechts vorgeben kannst.
Bezug
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