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| Aufgabe | Approximation von e "ohne Taschenrechner"
Bestimmen Sie eine Zahl a [mm] \in \IR [/mm] mit
|a-e| < 0.5 * 10^-3
wobei
e=exp(1)= [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k!} [/mm] |
Hallo.
Wenn mir jemand sagen kann, wie ich hier vorgehen muss würde ich mich sehr freuen. Ich hab leider irgendwie keine Ansatzidee, was ich hier tun muss. Natürlich hätte ich normalerweise einfach alles in den Taschenrechner eingegeben, aber so kommt es mir vor, als müss eich eine Formel auflösen, also
[mm] |a-\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k!}| [/mm] < 0.5 * 10^-3.
Jedoch komme ich nicht so recht weiter bei der Auflösung, wegen der Summe, von der ich zwar das Ergebnis weiß (e eben) aber mit diesem darf ich ja nicht rechnen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:35 Mi 12.12.2007 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
Ich denke mal, du sollst e mit der Reihe ausrechnen. (+- diesem Fehler)
D.h.
[mm] a_{0}=1, a_{1}=1+1=2, a_{2}=1+1+\bruch{1}{2}=2,5, a_{3}=1+1+\bruch{1}{2}+\bruch{1}{6}=2,6\overline{6}
[/mm]
u.s.w.
Das Problem ist nun zu wissen wann die Ungleichung erfüllt ist und man aufhören darf.
|a-e|=| [mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{k!}-\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k!} [/mm] |=| [mm] \summe_{k=n+1}^{\infty} \bruch{1}{k!} [/mm] |< 0.5 * 10^-3
Man könnte die einzelnen Summanden durch [mm] \bruch{1}{2^{k-1}}\ge\bruch{1}{k!} [/mm] abschätzen.
Für die Summe würde das [mm] <\bruch{1}{2^{n-1}} [/mm] bedeuten.
Es müsste also bis zum 12. summiert werden.
Die Abschätzung ist recht schlecht. Eigentlich müssten 6 oder 7 reichen. Also entweder etwas an der Abschätzung feilen, oder länger rechnen.
Ciao.
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Hm, okay, ich habe jetzt verstanden, was genau verlangt ist, aber noch nicht so ganz, wie genau das mit der Abschätzung geht und wie du das meinst mit "bis zum 12. summiert".
Und, ich weiß nicht, ob ich auf dem Schlauch stehe, aber bekomme ich so dann nicht nur, für welches n die Ungleichung stimmt, nicht aber a?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:52 Mi 12.12.2007 | | Autor: | Zneques |
a wird doch mit der Summe [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k!} [/mm] berechnet. Nur dürfte es dir sehr schwer fallen alle [mm] \infty [/mm] Summanden zu addieren. Daher musst du ein n bestimmen an dem dein [mm] a_{n}=\summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{k!} [/mm] genau genug ist um die Ungleichung zu erfüllen. Die Lösung der Ungleichung sagt dir genau dieses.
[mm] |\summe_{k=n+1}^{\infty} \bruch{1}{k!}|< |\summe_{k=n+1}^{\infty} \bruch{1}{2^{k-1}}|=|\summe_{k=n}^{\infty} \bruch{1}{2^{k}} |=\bruch{1}{2^{n-1}} [/mm] < 0.5 * 10^-3
Jetzt nach n umstellen, und man sieht ab welchen n [mm] a_{n} [/mm] eine Lösung ist.
Ciao.
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