Anzahl der Wendestellen < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:36 Sa 12.04.2014 | | Autor: | Frisco |
Hallo,
ich habe eine kleine Frage. Hat eine Funktion 4.ten Grades immer eine gerade Anzahl an Wendestellen?? Wenn ja warum...
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Hallo,
die notwendige Bedingung für Wendestellen ist bekanntlich f''(x)=0. Die zweite Ableitung einer ganzrationalen Funktion 4. Ordnung ist bekanntlich auch ganzrational vom Grad 2.
Setze jetzt in Gedanken einen solchen Ableitungsterm gleich Null und überlege, wie viele Lösungen die entstehende Gleichung haben kann. Das sollte deine Frage beantworten.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:42 Sa 12.04.2014 | | Autor: | Frisco |
Danke für die Antwort.
Also eine quadratische Gleichung kann bekanntlich eine, zwei oder keine Lösung haben.
Nehmen wir nun den Fall eine Lösung, was bedeuten würde ungerade Anzahl an Wendestellen...
Ich habe mir eine gebastellt.
Sie lautet wie folgt:
[mm]f(x)= \frac{1}{12}x^4- \frac{2}{3}x^3+2x^2-1[/mm]
[mm]f'(x)= \frac{1}{3}x^3- 2x^2+4x[/mm]
[mm]f''(x)= x^2- 4x+4[/mm]
Diese hat bekanntlich die Nullstelle bei x=2,
da es sich aber hierbei um eine doppelte Nullstelle sich handelt ist auch die dritte Ableitung also [mm]f'''(2)= 0[/mm]... Was haben wir nun da?
gut wir haben ein Vorzeichenwechsel in der 2.ten Ableitung für Werte kleiner 2 bzw. Werte größer 2. Also müsste an der Stelle [mm]x_0=2[/mm] ein Wendepunkt sein?!
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Hallo Frisco,
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> Danke für die Antwort.
> Also eine quadratische Gleichung kann bekanntlich eine,
> zwei oder keine Lösung haben.
> Nehmen wir nun den Fall eine Lösung, was bedeuten würde
> ungerade Anzahl an Wendestellen...
> Ich habe mir eine gebastellt.
> Sie lautet wie folgt:
> [mm]f(x)= \frac{1}{12}x^4- \frac{2}{3}x^3+2x^2-1[/mm]
> [mm]f'(x)= \frac{1}{3}x^3- 2x^2+4x[/mm]
>
> [mm]f''(x)= x^2- 4x+4[/mm]
> Diese hat bekanntlich die Nullstelle bei
> x=2,
> da es sich aber hierbei um eine doppelte Nullstelle sich
> handelt ist auch die dritte Ableitung also [mm]f'''(2)= 0[/mm]...
> Was haben wir nun da?
> gut wir haben ein Vorzeichenwechsel in der 2.ten Ableitung
> für Werte kleiner 2 bzw. Werte größer 2. Also müsste an
> der Stelle [mm]x_0=2[/mm] ein Wendepunkt sein?!
>
Vielmehr ist die 4. Ableitung von f zu untersuchen.
Die 4. Ableitung von f entscheidet dann über das weitere
Vorgehen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 Sa 12.04.2014 | | Autor: | Frisco |
Das verstehe ich nicht...
warum ist das von bedeutung??
[mm]f''''(x)=2[/mm]
und was bedeutet das jetzt??
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:53 Sa 12.04.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
$ [mm] f''(x)=x^2-4x+4\overset{!}{=}0\Longleftrightarrow x=\pm [/mm] 2 $.
nicht unbedingt.
Gruß Sax.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:59 Sa 12.04.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Sax,
Danke für die Kontrolle. Ich habe es verbessert.
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 21:52 Sa 12.04.2014 | | Autor: | abakus |
> Hallo Frisco,
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> >
> >
> > Danke für die Antwort.
> > Also eine quadratische Gleichung kann bekanntlich eine,
> > zwei oder keine Lösung haben.
> > Nehmen wir nun den Fall eine Lösung, was bedeuten
> würde
> > ungerade Anzahl an Wendestellen...
> > Ich habe mir eine gebastellt.
> > Sie lautet wie folgt:
> > [mm]f(x)= \frac{1}{12}x^4- \frac{2}{3}x^3+2x^2-1[/mm]
> > [mm]f'(x)= \frac{1}{3}x^3- 2x^2+4x[/mm]
>
> >
> > [mm]f''(x)= x^2- 4x+4[/mm]
> > Diese hat bekanntlich die
> Nullstelle bei
> > x=2,
> > da es sich aber hierbei um eine doppelte Nullstelle
> sich
> > handelt ist auch die dritte Ableitung also [mm]f'''(2)= 0[/mm]...
> > Was haben wir nun da?
> > gut wir haben ein Vorzeichenwechsel in der 2.ten
> Ableitung
> > für Werte kleiner 2 bzw. Werte größer 2. Also müsste an
> > der Stelle [mm]x_0=2[/mm] ein Wendepunkt sein?!
> >
>
>
>
> Nein, vielnmehr ist die 4. Ableitung von f zu untersuchen.
Das mag im konkreten Fall ein mögliches Vorgehen sein.
Im Allgemeinen ist es völlig korrekt, dass an Wendestellen die zweite Ableitung nicht nur einfach 0 sein muss, sondern an dieser Stelle auch einen Vorzeichenwechsel vollführt.
Hier mit "Nein" zu antworten ist damit einfach mal nicht korrekt.
Gruß Abakus
> Die 4. Ableitung von f entscheidet dann über das weitere
> Vorgehen.
>
>
> Gruss
> MathePower
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