Anzahl der Lösungen < Sonstiges < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:28 Do 06.06.2013 | | Autor: | arraneo |
Hey, Ich habe noch eine Übung hier, die eigentlich leichter sein soll, ist aber nicht.
Welche ist die Anzahl der ganzen Lösungen der Gleichung: ?
xy-6(x+y)=0 , mit [mm] x\le [/mm] y.
Ich habe versucht, x abhängig von y zu machen und ich erhalte dann:
xy-6x-6y=0
[mm] \gdw [/mm] xy-6x=6y
[mm] \gdw [/mm] x(y-6)=6y
[mm] \gdw x=\frac{6y}{y-6} [/mm]
Da [mm] x\in\IZ [/mm] sein soll , heißt das, dass y-6, 6y genau dividiert.
Wie komme ich aber weiter?
vielen Dank.
arraneo
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:50 Do 06.06.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hey, Ich habe noch eine Übung hier, die eigentlich
> leichter sein soll, ist aber nicht.
>
> Welche ist die Anzahl der ganzen Lösungen der Gleichung: ?
>
> xy-6(x+y)=0 , mit [mm]x\le[/mm] y.
>
> Ich habe versucht, x abhängig von y zu machen und ich
> erhalte dann:
>
> xy-6x-6y=0
>
> [mm]\gdw[/mm] xy-6x=6y
> [mm]\gdw[/mm] x(y-6)=6y
> [mm]\gdw x=\frac{6y}{y-6}[/mm]
>
> Da [mm]x\in\IZ[/mm] sein soll , heißt das, dass y-6, 6y genau
> dividiert.
Hier solltest du dir mal Gedanken machen, wann ein Bruch eine ganze Zahl ist. Dann muss sich der Zähler doch durch den Nenner kürzen lassen, 6y muss also ein ganzzahliges Vielfaches von y-6 sein.
Also muss es ein [mm] \k\in\IZ\setminus\{0\} [/mm] geben, so dass
[mm] 6y=k\cdot(y-6)
[/mm]
Alternativ kannst du mal wie folgt umformen:
$xy-6(x+y)=0$
[mm] $\Leftrightarrow [/mm] xy=6(x+y)$
[mm] $\Leftrightarrow \frac{1}{6}xy=x+y$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow \frac{1}{6}x=\frac{x+y}{y}$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow \frac{1}{6}x=\frac{x}{y}+1$
[/mm]
Überlege nun mal, wann die linke Seite aus [mm] \IZ [/mm] ist, und wann die rechte. x und y sollen ja nach Voraussetzung aus [mm] \IZ [/mm] sein.
>
> Wie komme ich aber weiter?
>
> vielen Dank.
>
> arraneo
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:38 Do 06.06.2013 | | Autor: | arraneo |
ok.
Alsoist x=6k, für [mm] k\in\IN [/mm] (sprich vielfach von 6) und dann soll aber auch [mm] y\in{2k,3k,6k} [/mm] , da x/y+1 auch ganzzahlig sein soll.
Wie soll das jetzt weiterlaufen? weil soweit bin ich eigentlich auch gekommen...
danke.
arraneo
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:06 Do 06.06.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Welche ist die Anzahl der ganzen Lösungen der Gleichung: ?
>
> xy-6(x+y)=0 , mit $ [mm] x\le [/mm] $ y.
>
> Ich habe versucht, x abhängig von y zu machen und ich erhalte dann:
>
> xy-6x-6y=0
>
> $ [mm] \gdw [/mm] $ xy-6x=6y
> $ [mm] \gdw [/mm] $ x(y-6)=6y
> $ [mm] \gdw x=\frac{6y}{y-6} [/mm] $
Aus der Forderung x [mm] \le [/mm] y ergibt sich somit [mm] \frac{6y}{y-6} \le [/mm] y und daraus nach der Fallunterscheidung y<6 bzw. y>6 und einigen Umformungen die beiden Bereiche 0 [mm] \le [/mm] y < 6 und y [mm] \ge [/mm] 12
Wenn wir weiterhin beachten, dass die Funktion x = f(y) = [mm] \frac{6y}{y-6} [/mm] für y>6 monoton fallend mit dem Grenzwert 6 ist, brauchen wir solche y-Werte, ab denen x<7 wird, nicht mehr zu betrachten, da x ganzzahlig sein soll.
Tatsächlich ergeben sich für alle y mit 0 [mm] \le [/mm] y < 6 außer für y=1 und alle x mit 12 [mm] \ge [/mm] x [mm] \ge [/mm] 7 außer x=11 Lösungen, die den Bedingungen genügen, also insgesamt 10 Stück.
Gruß Sax.
|
|
|
|
