Anzahl der Jordankästchen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Beweise: Die Anzahl der Jordankästchen einer Matrix A zum Eigenwert z ist gleich der Dimension des Eigenraumes von A zum Eigenwert z. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
HAllo lieber Mathe Raum!
Es haben sich für mich bei diesem Beweis ein paar Fragen aufgeworfen und würde mcih sehr freuen, wenn mir da jemand helfen könnte!
ich habe 2 verschiedene Varianten:
1)
wir müssen also zeigen, dass dim(A-z E)= r ist, dabei ist r die Anzahl der Jordankästchen.
kann man jetzt so einfach sagen, dass der Rang der Matrix (A-z E) der Anzahl der Einsen in A in der Normalform entspricht? Wenn man sich jetzt also einfach ne Matrix A nimmt, wo auf der Diagonalen die Eigenwerte stehen und auf der Nebendiagonale Einsen, dann wäre (A-z E) eine Matrix, in der auf der Nebendiagonalen nur Einsen (deren Anzahl nenne ich jetzt n) stehen udn sonst nur Nullen. Dann wäre doch ein Jordanblock n-1 Einsen, zwei JB n-2 Einsen usw....
so kriegt man also raus, dass dim(A-z E)=n-rg(A-z E)=n-(n-r)=r ist.
Stimmt mein Gedankengang???
2)
Man kann den Beweis auch so zeigen: wenn man eine Matrix A hat mit A=U^(-1) J U, dann ist Ji=U^(-1) A U, also eine Matrix, in der die Eigenwerte aus der Diagonalen sind und auf der Nebendiagonalen Einsen.
Wenn ich jetzt sage, dass k die Nummer der letzten Spalte eines Jordankästchens ist, dann diese Spalte doch ein Eigenvektor, oder?
Aber die Eigenvektoren sollen in der k-ten Spalte von U stehen...?? ich check den Schritt vom Jordankästchen auf U nicht...
das Jordankästchen ist doch nicht in U, oder?
also ich weiß schon, dass aud der Diagonalen der JNF die Eigenwerte stehen udn dass in einer Spalte dann der Eigenvektor steht, aber ich komme mit den Matrizen durcheinander und deren Bezeichnung...
Würde mcih riesig freuen, wenn mir jemand durch das Wirrwar helfen könnte!
lg, HUteacher
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:21 Di 14.10.2008 | | Autor: | pelzig |
Ich kann dir nur den Tipp geben, dass die du die JNF viel besser verstehst, wenn du die Matrizendarstellung außen vor lässt und dir stattdessen mal die zwei Zerlegungssätze anschaunst und verstehst.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Do 16.10.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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