Anzahl der Elemente in Aut-Gr. < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:31 So 04.05.2008 | | Autor: | tempo |
| Aufgabe | | Sei p eine Primzahl, n [mm] \in \IN. [/mm] Wieviele Elemente enthält Aut [mm] ((\IZ_{p})^{n})? [/mm] |
Hallo mathe freunde,
meine Überlegung zu dieser Aufgabe:
Also ich weiß das [mm] \IZ_{p} [/mm] eine zyklische Gruppe ist und p Elemente hat, da die Automorphismengruppe nicht alle "vertauschungen" (Permutationen) dieser Elemente haben kann (da das neutrale Element ja auf das neutrale abgebildet wird...) gibt es in [mm] Aut(\IZ_{p}) [/mm] max. (p-1)! Elemente. (halte neutrales Element fest und bilde Erzeuger ab, also ein Element weniger)
Also ist [mm] |Aut((\IZ_{p})^{n})| [/mm] = (p-1)!^{n} Elemente ? oder [mm] (p^{n} [/mm] -1)! ? da bin ich mir im Mom. irgedwie unsicher... was meint ihr?
Habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:24 Mo 05.05.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei p eine Primzahl, n [mm]\in \IN.[/mm] Wieviele Elemente enthält
> Aut [mm]((\IZ_{p})^{n})?[/mm]
>
> meine Überlegung zu dieser Aufgabe:
> Also ich weiß das [mm]\IZ_{p}[/mm] eine zyklische Gruppe ist und p
> Elemente hat, da
Dieses ``da'' hier ist fehlplaziert, oder?
> die Automorphismengruppe nicht alle
> "vertauschungen" (Permutationen) dieser Elemente haben kann
> (da das neutrale Element ja auf das neutrale abgebildet
> wird...) gibt es in [mm]Aut(\IZ_{p})[/mm] max. (p-1)! Elemente.
Du kannst sogar noch mehr sagen: ein Automorphismus ist durch das Bild des Elementes 1 vollstaendig bestimmt. Und jedes Element [mm] $\neq [/mm] 0$ kann das Bild von 1 sein unter einem Automorphismus. Also hat [mm] $\IZ_p$ [/mm] genau $p - 1$ Automorphismen. (Die Anzahl der Automorphismen einer zyklischen Gruppe ist gleich die Anzahl der Erzeuger!)
> (halte neutrales Element fest und bilde Erzeuger ab, also
> ein Element weniger)
> Also ist [mm]|Aut((\IZ_{p})^{n})|[/mm] = (p-1)!^{n} Elemente ? oder
> [mm](p^{n}[/mm] -1)! ? da bin ich mir im Mom. irgedwie unsicher...
> was meint ihr?
Wenn schon [mm] $\le$. [/mm] Aber die Formel ist definitiv falsch.
Schau's dir doch mal anders an: [mm] $\IZ_p$ [/mm] ist ja auch ein Koerper und [mm] $\IZ_p^n$ [/mm] ein [mm] $\IZ_p$-Vektorraum, [/mm] dessen additive Gruppe gerade das [mm] $\IZ_p^n$ [/mm] von oben ist. Und jeder Gruppenautomorphismus ist bereits ein Vektorraumautomorphismus (die Umkehrung stimmt sowieso). Daraus folgt: du musst die Anzahl der invertierbaren $n [mm] \times [/mm] n$-Matrizen ueber [mm] $\IZ_p$ [/mm] zaehlen.
LG Felix
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