Anzahl Nullstellen beweisen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 04:52 So 07.08.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Man zeige, dass die durch
$f(x)= [mm] \frac{1}{x-1} [/mm] + [mm] \frac{1}{x-2} [/mm] + [mm] \frac{1}{x-3} [/mm] + [mm] \frac{1}{x-4}$
[/mm]
definierte Funktion [mm] $f:\IR\backslash \{1,2,3,4\} \rightarrow \IR$ [/mm] genau drei reelle Nullstellen hat und jeden Wert [mm] $c\in \IR^{\*}$ [/mm] genau viermal annimmt. |
Hallo,
es ist : [mm] $\frac{1}{x-1} [/mm] + [mm] \frac{1}{x-2} [/mm] + [mm] \frac{1}{x-3} [/mm] + [mm] \frac{1}{x-4} [/mm] = [mm] \frac{2(2x-5)(x^{2}-5x+5)}{(x-4)(x-3)(x-2)(x-1)} [/mm] = [mm] \frac{2(2x-5)(x-(\frac{5}{2}+\sqrt{5}))(x-(\frac{5}{2}-\sqrt{5}))}{(x-4)(x-3)(x-2)(x-1)}$ [/mm]
Ich denke das reicht nicht und ist nicht im Sinne des Aufgabenstellers, weil damit die zweite Teilaufgabe nicht gezeigt ist.
Was ist damit gemeint, dass jeder Wert [mm] $c\in \IR^{\*}$ [/mm] genau vier Mal angenommen wird?
Bin für jegliche Hilfestellungen dankbar!!
Gruss
kushkush
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> Man zeige, dass die durch
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> [mm]f(x)= \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x-2} + \frac{1}{x-3} + \frac{1}{x-4}[/mm]
>
> definierte Funktion [mm]f:\IR\backslash \{1,2,3,4\} \rightarrow \IR[/mm]
> genau drei reelle Nullstellen hat und jeden Wert [mm]c\in \IR^{\*}[/mm]
> genau viermal annimmt.
> es ist : [mm]\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x-2} + \frac{1}{x-3} + \frac{1}{x-4} = \frac{2(2x-5)(x^{2}-5x+5)}{(x-4)(x-3)(x-2)(x-1)} = \frac{2(2x-5)(x-(\frac{5}{2}+\sqrt{5}))(x-(\frac{5}{2}-\sqrt{5}))}{(x-4)(x-3)(x-2)(x-1)}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> Ich denke das reicht nicht und ist nicht im Sinne des
> Aufgabenstellers, weil damit die zweite Teilaufgabe nicht
> gezeigt ist.
Der letzte Schritt der obigen Umformung ist auch nicht ganz korrekt.
> Was ist damit gemeint, dass jeder Wert [mm]c\in \IR^{\*}[/mm] genau
> vier Mal angenommen wird?
Genau das, was damit gesagt ist. Man könnte die Aussage
z.B. auch so formulieren:
Jede oberhalb der x-Achse liegende waagrechte Gerade y=c
(mit c>0) schneidet den Funktionsgraph genau 4 mal.
Zur Lösung würde ich dir eine kleine Kurvendiskussion vor-
schlagen. Betrachte insbesondere die Monotonie- und Stetig-
keitseigenschaften der Funktion !
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:52 So 07.08.2011 | | Autor: | abakus |
> > Man zeige, dass die durch
> >
> > [mm]f(x)= \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x-2} + \frac{1}{x-3} + \frac{1}{x-4}[/mm]
>
> >
> > definierte Funktion [mm]f:\IR\backslash \{1,2,3,4\} \rightarrow \IR[/mm]
> > genau drei reelle Nullstellen hat und jeden Wert [mm]c\in \IR^{\*}[/mm]
> > genau viermal annimmt.
>
> > es ist : [mm]\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x-2} + \frac{1}{x-3} + \frac{1}{x-4} = \frac{2(2x-5)(x^{2}-5x+5)}{(x-4)(x-3)(x-2)(x-1)} = \frac{2(2x-5)(x-(\frac{5}{2}+\sqrt{5}))(x-(\frac{5}{2}-\sqrt{5}))}{(x-4)(x-3)(x-2)(x-1)}[/mm]
>
>
> > Ich denke das reicht nicht und ist nicht im Sinne des
> > Aufgabenstellers, weil damit die zweite Teilaufgabe nicht
> > gezeigt ist.
>
> Der letzte Schritt der obigen Umformung ist auch nicht ganz
> korrekt.
>
> > Was ist damit gemeint, dass jeder Wert [mm]c\in \IR^{\*}[/mm] genau
> > vier Mal angenommen wird?
>
> Genau das, was damit gesagt ist. Man könnte die Aussage
> z.B. auch so formulieren:
> Jede oberhalb der x-Achse liegende waagrechte Gerade y=c
> (mit c>0) schneidet den Funktionsgraph genau 4 mal.
>
> Zur Lösung würde ich dir eine kleine Kurvendiskussion
> vor-
> schlagen. Betrachte insbesondere die Monotonie- und
> Stetig-
> keitseigenschaften der Funktion !
>
> LG Al-Chw.
Und ich möchte die Aufmerksamkeit auf die offensichtliche Punktsymmetrie bezüglich des Punktes (2,5|0) richten.
Gruß Abakus
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Hallo Al-Chwarizmi und abakus,
> stimmt nicht
$ [mm] \frac{1}{x-1} [/mm] + [mm] \frac{1}{x-2} [/mm] + [mm] \frac{1}{x-3} [/mm] + [mm] \frac{1}{x-4} [/mm] = [mm] \frac{2(2x-5)(x^{2}-5x+5)}{(x-4)(x-3)(x-2)(x-1)} [/mm] = [mm] \frac{2(2x-5)(x-(\frac{5}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}))(x-(\frac{5}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}))}{(x-4)(x-3)(x-2)(x-1)} [/mm] $
Nullstellen: [mm] $x_{1}= [/mm] 5/2$ [mm] $x_{2/3}= \frac{1}{2}( [/mm] 5 [mm] \pm \sqrt{5})$
[/mm]
Da es eine Rationale Funktion ist ist es stetig [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in \IR \backslash \{1,2,3,4\}$ [/mm] . Bis zur jeweiligen Unstetigkeitsstelle ist es immer monoton fallend und dann gegen unendlich usw.
Um die Nullstellen zu beweisen, muss ich Intervalle finden, so dass $a<b$, $f(a) <0 <f(b)$ dann folgt der Rest aus dem Zwischenwertsatz.
Behauptung: Sei [mm] $c\in \IR, f:[a,b]\rightarrow \IR$ [/mm] stetig mit $f(a)<c<f(b)$. Dann existitiert laut dem ZWS ein $q [mm] \in [/mm] [a,b]: f(q)=c$
Beweis: Mit $f(b)>c>f(a)$ sei $g(x):= f(x)-c$. Da g stetig , $g(b)>0>g(a)$. Damit existiert nach dem ZWS ein $q [mm] \in [/mm] [a,b] : f(q)= 0 [mm] \Rightarrow [/mm] f(q)=c$.
Die vier verschiedenen Intervalles sind gerade zwischen den vier Unstetigkeitsstellen.
Ist das so weit richtig?
> Punktsymmetrie
Schön, danke.
> LG
> GruB
Danke!
Gruss
kushkush
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Mo 15.08.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:07 So 14.08.2011 | | Autor: | reverend |
Guten Abend,
> > Was ist damit gemeint, dass jeder Wert [mm]c\in \IR^{\*}[/mm] genau
> > vier Mal angenommen wird?
>
> Genau das, was damit gesagt ist. Man könnte die Aussage
> z.B. auch so formulieren:
> Jede oberhalb der x-Achse liegende waagrechte Gerade y=c
> (mit c>0) schneidet den Funktionsgraph genau 4 mal.
Ich nehme an, dass der Aufgabensteller die Notation [mm] \IR^{\*} [/mm] für [mm] \IR\setminus\{0\} [/mm] verwendet. Diese ist allerdings nicht allgemein üblich, kann aber so definiert worden sein.
Immerhin gilt die Behauptung ja auch für jedes c<0.
Grüße
reverend
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> Ich nehme an, dass der Aufgabensteller die Notation
> [mm]\IR^{\*}[/mm] für [mm]\IR\setminus\{0\}[/mm] verwendet. Diese ist
> allerdings nicht allgemein üblich, kann aber so definiert
> worden sein.
>
> Immerhin gilt die Behauptung ja auch für jedes c<0.
ich hatte nicht mal gemerkt, dass da ein Sternchen
steht und habe deshalb [mm] \IR^+ [/mm] gelesen ...
LG
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