Anzahl Nullstellen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:02 Fr 09.12.2011 | | Autor: | qed |
| Aufgabe | | Sei [mm]I := \left[a,b \right] \subset \IR[/mm] ein Intervall und [mm]f:I\rightarrow\IR[/mm] differenzierbar auf [mm]I[/mm]. Es gelte [mm]\forall x\in I : |f(x)|+|f'(x)|\ne 0[/mm]. Beweisen Sie, dass [mm]f[/mm] auf [mm]I[/mm] nur endlich viele Nullstellen besitzt. |
Hallo alle zusammen,
könnte mir bitte jemand einen Tip geben wie ich hier vorgehen kann?
Viele Grüße
qed
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> Sei [mm]I := \left[a,b \right] \subset \IR[/mm] ein Intervall und
> [mm]f:I\rightarrow\IR[/mm] differenzierbar auf [mm]I[/mm]. Es gelte [mm]\forall x\in I : |f(x)|+|f'(x)|\ne 0[/mm].
> Beweisen Sie, dass [mm]f[/mm] auf [mm]I[/mm] nur endlich viele Nullstellen
> besitzt.
> Hallo alle zusammen,
>
> könnte mir bitte jemand einen Tip geben wie ich hier
> vorgehen kann?
>
> Viele Grüße
>
> qed
Die Bedingung impliziert, dass alle Nullstellen isoliert sind: Ist [mm] f(x_0)=0, [/mm] so muss [mm] f'(x_0)\ne [/mm] 0 gelten. Daraus folgt, dass es eine Umbebung U von [mm] x_0 [/mm] gibt mit [mm] f(x)\ne [/mm] 0 für alle [mm] x\in U\setminus\{x_0\}.
[/mm]
Da f stetig ist, ist die Menge der Nullstellen zudem abgeschlossen. Eine abgeschlossene beschränkte Menge, die nur aus isolierten Punkten besteht, muss endlich sein.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:37 Fr 09.12.2011 | | Autor: | qed |
Hallo donquijote,
vielen Dank für Deine schnelle Antwort.
> Die Bedingung impliziert, dass alle Nullstellen isoliert
> sind: Ist [mm]f(x_0)=0,[/mm] so muss [mm]f'(x_0)\ne[/mm] 0 gelten. Daraus
> folgt, dass es eine Umbebung U von [mm]x_0[/mm] gibt mit [mm]f(x)\ne[/mm] 0
> für alle [mm]x\in U\setminus\{x_0\}.[/mm]
Bis hier hin ist es angekommen.
> Da f stetig ist, ist die
> Menge der Nullstellen zudem abgeschlossen.
Das kann ich leider nicht nachvollziehen. Könntest Du hierzu bitte noch was sagen?.
> Eine abgeschlossene beschränkte Menge, die nur aus isolierten
> Punkten besteht, muss endlich sein.
Das ist mir wieder klar.
Viele Grüße
qed
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> Hallo donquijote,
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> vielen Dank für Deine schnelle Antwort.
>
> > Die Bedingung impliziert, dass alle Nullstellen isoliert
> > sind: Ist [mm]f(x_0)=0,[/mm] so muss [mm]f'(x_0)\ne[/mm] 0 gelten. Daraus
> > folgt, dass es eine Umbebung U von [mm]x_0[/mm] gibt mit [mm]f(x)\ne[/mm] 0
> > für alle [mm]x\in U\setminus\{x_0\}.[/mm]
> Bis hier hin ist es
> angekommen.
>
> > Da f stetig ist, ist die
> > Menge der Nullstellen zudem abgeschlossen.
> Das kann ich leider nicht nachvollziehen. Könntest Du
> hierzu bitte noch was sagen?.
f ist differenzierbar und somit stetig. Die Menge [mm] f^{-1}(\{0\}) [/mm] der Nullstellen ist dann als Urbild einer abgeschlossenen Menge abgeschlossen.
Alternativ: Ist N die Menge der Nullstellen und [mm] (x_n)\subset [/mm] N eine in [mm] \IR [/mm] konvergente Folge, so gilt
[mm] f(\lim x_n)=\lim f(x_n)=0
[/mm]
>
> > Eine abgeschlossene beschränkte Menge, die nur aus
> isolierten
> > Punkten besteht, muss endlich sein.
> Das ist mir wieder klar.
>
> Viele Grüße
>
> qed
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:33 Fr 09.12.2011 | | Autor: | qed |
> > > Da f stetig ist, ist die Menge der Nullstellen zudem abgeschlossen.
> > Das kann ich leider nicht nachvollziehen. Könntest Du
> > hierzu bitte noch was sagen?.
>
> f ist differenzierbar und somit stetig. Die Menge
> [mm]f^{-1}(\{0\})[/mm] der Nullstellen ist dann als Urbild einer
> abgeschlossenen Menge abgeschlossen.
Kann ich endlich nachzollziehen.
> Alternativ: Ist N die Menge der Nullstellen und
> [mm](x_n)\subset[/mm] N eine in [mm]\IR[/mm] konvergente Folge, so gilt
> [mm]f(\lim x_n)=\lim f(x_n)=0[/mm]
Jetz habs ichs geschnallt.
Vielen Dank für Deine Hilfe donquijote!
Grüße
qed
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