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***Frage nicht woanders gestellt***
Aufgabe 67 (Übungsaufgaben Stochastik für Naturwissenshaftler Uni Zürich)
Rote und weisse Kugeln werden zufällig in Schachteln mit je 5 Stück abgefüllt. Die Farbe der einzelnen Kugeln wird mit einem Zufallsmechanismus bestimmt, der bewirkt, dass 30% der Kugeln rot sind.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben die Kugeln in einer Schachtel alle dieselbe Farbe?
Hier habe ich eine Lösung:
Ich denke mal, das ist eine Binomialverteilung mit
Anzahl Kugeln pro Schachtel = n = 5, p = 0.l3 und q = 0.7
Alle weiss:
P(X=rot=0) = [mm]{5 \choose 0} 0.3^0 \* 0.7^5 = 0.1681 [/mm]
Alle rot:
P(X=rot=5) = [mm]{5 \choose 5} 0.3^5 \* 0.7^0 = 0.0024 [/mm]
Wahrscheinlichkeit alle mit gleicher Farbe:
Beides addiert 0.1681 + 0.0024 = 0.1705
b) Wie viele Schachteln muss man mindestens auswählen, damit unter diesen mit einer
Wahrscheinlichkeit > 95% mindestens eine Schachtel mit 4 oder 5 roten Kugeln ist?
Hier bin ich verunsichert und bitte um Hilfe:
Dies scheint mir nicht lösbar, da ja die Wahrscheinlichkeit abnimmt, je mehr Schachteln
( = s ) betrachtet werden, bzw. wird ja [mm] 0.1705^s [/mm] immer kleiner
und erreicht nicht eine Wahrscheinlichkeit grösser 0.95 .
Wo mache ich den Denkfehler?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:39 Mi 27.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Beni!
> ***Frage nicht woanders gestellt***
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> Aufgabe 67 (Übungsaufgaben Stochastik für
> Naturwissenshaftler Uni Zürich)
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> Rote und weisse Kugeln werden zufällig in Schachteln mit je
> 5 Stück abgefüllt. Die Farbe der einzelnen Kugeln wird mit
> einem Zufallsmechanismus bestimmt, der bewirkt, dass 30%
> der Kugeln rot sind.
>
> a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben die Kugeln in einer
> Schachtel alle dieselbe Farbe?
>
> Hier habe ich eine Lösung:
>
> Ich denke mal, das ist eine Binomialverteilung mit
> Anzahl Kugeln pro Schachtel = n = 5, p = 0.l3 und q = 0.7
Du meinst: $p=0.3$.
>
> Alle weiss:
> P(X=rot=0) = [mm]{5 \choose 0} 0.3^0 \* 0.7^5 = 0.1681[/mm]
>
> Alle rot:
> P(X=rot=5) = [mm]{5 \choose 5} 0.3^5 \* 0.7^0 = 0.0024[/mm]
>
> Wahrscheinlichkeit alle mit gleicher Farbe:
>
> Beides addiert 0.1681 + 0.0024 = 0.1705
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> b) Wie viele Schachteln muss man mindestens auswählen,
> damit unter diesen mit einer
> Wahrscheinlichkeit > 95% mindestens eine Schachtel mit 4
> oder 5 roten Kugeln ist?
Nehmen wir an ich wähle $n$ Schachteln aus. Dann sei [mm] $X_n$ [/mm] die Anzahl der Schachteln, die $4$ oder $5$ rote Kugeln enthalten. Rechne bitte die Wahrscheinlichkeit $p$, dass eine Schachtel $4$ oder $5$ rote Kugeln enthält, selber aus. Das schaffst du locker. 
Dann ist [mm] $X_n$ [/mm] wieder Binomialverteilt, nämlich $B(n;p)$ mit oben errechnetem $p$.
Du musst jetzt das kleinste $n$ bestimmen, so dass
$1 - [mm] P(X_n [/mm] =0) = [mm] P(X_n \ge [/mm] 1) > 0.95$
ist. Rechne also erst einmal [mm] $1-P(X_n=0)$ [/mm] aus und forme dann noch $n$ um.
Ich denke mal du erkennst deinen Denkfehler jetzt selber, oder?
Viele Grüße
Stefan
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Danke Stefan für die Hinweise. Natürlich hätte das erste p=0.3 lauten müssen.
Meine Lösung ist:
P(X=rot=4) = [mm]{5 \choose 4} 0.3^4 \* 0.7^1 = 0.02835 [/mm]
P(X=rot=5) = [mm]{5 \choose 5} 0.3^5 \* 0.7^0 = 0.00243 [/mm]
P(X=rot=4 oder 5) = P(X=rot=4) + P(X=rot=5) = 0.03078
Gesucht Binomialverteilung mit unbekanntem n und p=0.03078, q=0.96922
so dass P(X>0) > 0.95
Gegenwarscheinlichkeit:
P(X=0) < 0.05
P(X=0) = [mm]{n \choose 0} 0.03078^0 \* 0.96922^n = 0.05 [/mm]
P(X=0) = [mm]0.96922^n = 0.05 [/mm]
n >oder= ln(0.05)/ln(0.96922)=95.8
Also muss n=96 sein.
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![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]"){kind=small}
