Anwendungsaufgabe EXP/LOG < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:35 Di 01.04.2008 | | Autor: | prefaektus |
| Aufgabe | Durch die Funktion f mit f(t)= 0,02t² * e^-1t wird das Wachstum einer Fichte in Abhängigkeit von der Zeit t (gemessen in Jahren) beschrieben. Dabei gibt f(t) nicht die Höhe, sondern die Wachstumsgeschwindigkeit in Metern pro Jahr (zum Zeitpunkt t) an.
Zum Zeitpunkt t = 0 hat eine frisch eingpflanzte Fichte eine Höhe von ca. 20cm.
a.) Berechnen Sie den Funktionswert von f an der Stelle t=30 und interpretieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang. Beschreiben sie anhand des Graphen von f, wie sich die Fichte im Laufe der Jahre entwickelt.
b.) Bestimmen Sie rechnerisch das Alter, in dem die Fichte am stärksten wächst. Geben Sie zudem die größte Wachstumsgeschwindigkeit an.
[Es gilt: f''(t)=0,0002 * (t² - 40t +200) * e^-0,1t]
c.) Begründen Sie anhand des graphen von f, dass die fichte nach 20 Jahren weniger als 20 Meter hoch ist.
Zeigen Sie, dass durch F(t)=0,2 * (t² + 20t + 200) * e^-0,1t eine Stammfunktion von f gegeben ist.
Berechnen Sie die zu erwartende Höhe der Fichte nach 20 Jahren.
d.) Begründen Sie durch Eigenschaften der Funktion f, dass F eine Wendestelle hat.
e.) In einem Lexikon steht, dass bestimmte Fichtenarten bis zu 60 m hoch werden können.
Ermitteln Sie, welche Höhe eine Fichte, deren Wachstum durch die funktion f beschrieben wird, maximal erreichen kann (gerundet auf ganze Meter) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich komme bei Teil b nicht weiter. Ich gehe mal davon aus, dass ich die Extrema bestimmen muss. Aber irgendwie habe ich bei dieser Aufgabe Probleme die erste Ableitung zu bilden. Habe zuerst die Produktregel anzuwenden, aber irgendwie hänge ich :-(
Wäre dankbar für hilfe.
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:43 Di 01.04.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Bei b) hast du recht, du brauchst die 1. Ableitung. Dann zeig mal, was du gerechnet hast!
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Danke für die rasche Antwort  !
Also ich weiß jetzt, dass ich f'(t) gleich 0 setzen muss und dann nach t auflösen muss. Allerdings brauch ich ja auch noch die zweite Ableitung und da fängt das Problem schon wieder an :-(. Ich weiß nicht wie ich von f(t)=e^-0,01t * (0,04t - 0,002t²) auf die 2 Ableitung komme. Kann ich da jetzt wieder einfach die Produktregel anweden oder was muss ich tun?
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Hallo prefaektus,
> Danke für die rasche Antwort !
>
> Also ich weiß jetzt, dass ich f'(t) gleich 0 setzen muss
> und dann nach t auflösen muss. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Allerdings brauch ich ja
> auch noch die zweite Ableitung und da fängt das Problem
> schon wieder an :-(. Ich weiß nicht wie ich von
> [mm] f\red{'}(t)=e^-0,01t [/mm] * (0,04t - 0,002t²)
Da ist dir beim Exponenten von $e$ aber eine 0 zuviel reingerutscht, es ist [mm] $f'(t)=e^{-0,1t}\cdot{}(......)$
[/mm]
> auf die 2 Ableitung
> komme. Kann ich da jetzt wieder einfach die Produktregel
> anweden oder was muss ich tun?
ganz genau: erster Faktor: [mm] $u(t)=e^{-0,1t}$, [/mm] zweiter Faktor: [mm] $v(t)=(0,04t-0,002t^2)$
[/mm]
Die einzige Schwierigkeit besteht darin, sich nicht mit den ganzen Nachkommastellen zu vertun 
LG
schachuzipus
PS: setze doch bitte zur besseren Lesbarkeit die Exponenten in geschweifte Klammern {}
Also e^{-0,1t} ergibt [mm] $e^{-0,1t}$
[/mm]
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Also irgendwie verstehe ich nicht wie ich auf f''(x) kommen soll (zumindest so, wie es in der Vorgabe steht: f''(t)=0,0002 * (t² - 40t +200) * [mm] e^{-0,1t} [/mm] ).
Wenn ich die Produktregel anwende, dann steht da ja:
[mm] u=e^{-0,1t}
[/mm]
[mm] u'=-0,1*e^{-0,1t}
[/mm]
v=(0,04t-0,002t²)
v'=t-0,004
f''(x)= [mm] 0,1*e^{-0,1t} [/mm] * (0,04t-0,002t²) + [mm] e^{-0,1t} [/mm] * t-0,004
Habe auch versucht es weiter zusammenzufassen, aber auf f''(t)=0,0002 * (t² - 40t +200) * [mm] e^{-0,1t} [/mm] bin ich dabei nicht gekommen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:41 Do 03.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> f''(t)=0,0002 * (t² - 40t +200) * [mm]e^{-0,1t}[/mm] ).
> Wenn ich die Produktregel anwende, dann steht da ja:
> [mm]u=e^{-0,1t}[/mm]
> [mm]u'=-0,1*e^{-0,1t}[/mm]
> v=(0,04t-0,002t²)
> v'=t-0,004
falsch, richtig ist v'=0,04-0,004*t
Gruss leduart
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Danke!
Ich bin jetzt soweit gekommen:
f''(t)= [mm] e^{-0,1*t} [/mm] * (-0,004t) + [mm] e^{-0,1*t} [/mm] * 0,0002t² + [mm] e^{-0,1*t} [/mm] * 0,04-0,004t
Ab hier hänge ich aber mal wieder :-(...
Wäre sehr nett wenn mir vllt. jemand die übrigen Rechenschritte bis zur verlangten 2 Ableitung ( [mm] f''(t)=0,0002*(t²-40t+200)*e^{0,1t} [/mm] zeigen könnte, so dass ich es nachvollziehen kann.
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Hallo nochmal,
> Danke!
>
> Ich bin jetzt soweit gekommen:
>
> f''(t)= [mm] e^{-0,1*t} [/mm] * (-0,004t) + [mm] e^{-0,1*t} [/mm] * 0,0002t² + [mm] e^{-0,1*t}*\red{(} 0,04-0,004t\red{)} [/mm]
Klammern nicht vergessen!!
>
> Ab hier hänge ich aber mal wieder :-(...
> Wäre sehr nett wenn mir vllt. jemand die übrigen
> Rechenschritte bis zur verlangten 2 Ableitung (
> [mm]f''(t)=0,0002*(t²-40t+200)*e^{\red{-}0,1t}[/mm] zeigen könnte, so dass
> ich es nachvollziehen kann.
Klammere [mm] $e^{-0,1t}$ [/mm] aus:
[mm] $=e^{-0,1t}(-0,004t+0,0002t^2+0,04-0,004t)$
[/mm]
[mm] $=e^{-0,1t}(0,0002t^2-0,008t+0,04)$
[/mm]
Nun noch 0,0002 ausklammern, dann hast du's
LG
schachuzipus
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JUHU!!!
Es hat endlich geklappt!
Vielen vielen Dank!!!!
Ich habe noch eine Frage zu Aufgabenteil c).
Ich soll ja nachweisen, dass durch [mm] F(t)=0,2(t²+20t+200)e^{-0,1t} [/mm] eine Stammfunktion von f gegeben ist. Reicht es da hinzuschreiben, dass die Ableitung der Stammfunktion F'(x) = f(x) ist?
Und bei e) vermute ich mal, dass ich da eine Integralrechnung durchführen muss. Allerdings weiß ich nicht wirklich, welche werte ich da einsetzen muss...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:38 Do 03.04.2008 | | Autor: | abakus |
> JUHU!!!
> Es hat endlich geklappt!
> Vielen vielen Dank!!!!
>
> Ich habe noch eine Frage zu Aufgabenteil c).
> Ich soll ja nachweisen, dass durch
> [mm]F(t)=0,2(t²+20t+200)e^{-0,1t}[/mm] eine Stammfunktion von f
> gegeben ist. Reicht es da hinzuschreiben, dass die
> Ableitung der Stammfunktion F'(x) = f(x) ist?
Nein, das reicht nicht. Du musst die Ableitungsprozedur (Produktregel) schon vorführern.
> Und bei e) vermute ich mal, dass ich da eine
> Integralrechnung durchführen muss. Allerdings weiß ich
> nicht wirklich, welche werte ich da einsetzen muss...
Hier lässt du die Zeit t gegen unendlich gehen und berechnest damit das bestimmte Integral.
Viele Grüße
Abakus
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
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Produktregel