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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:35 Di 11.10.2005 | | Autor: | Gero |
Hir,
Also, dann mal gleich weiter mit meinen "Problemchen"! Ich habe hier ein paar Aufgaben, bei denen ich nicht weiß wie ich sie anpacken soll. Wir haben leider auf keinem der vielen Übungsblätter Rechnungen bzw. leichte Beweise gemacht, bei denen man den Stoff irgendwie anwenden konnte. Die Beweise waren immer nur total abgehoben, sodass ich keine Ahnung habe, wie ich überhaupt anfangen soll.
1.) "Zeigen Sie, dass die Ellipse {(x,y)| [mm] \bruch{x^2}{a^2} [/mm] + [mm] \bruch{y^2}{b^2} [/mm] = 1} eine eindimensionale Untermannigfaltigeit von [mm] \IR^2 [/mm] ist. Geben Sie zwei verschiedene Beweise an." ( Ich wäre froh, wenn ich nur einen wüßte! *g*)
2.)"Berechnen Sie den kürzesten Abstand des Punktes (0,b) zu der Parabel {(x,y)| [mm] x^2-4y [/mm] = 0}."
3.) "Berechnen Sie das Volumen, dass der Zylinder Z := {(x, y, z) [mm] \in \IR^3| x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] < [mm] \bruch{1}{4}} [/mm] as der Einheitskugel [mm] B_{1}(0) \subseteq \IR^3 [/mm] ausschneidet, d.h. berechnen Sie das Volumenvon Z [mm] \cap B_{1}(0)."
[/mm]
Kann mir vielleicht bitte jemand helfen? Mir würd auch mal ein Gedankenanstoß bzw. ein Ansatz helfen!
Vielen Dank schonmal im voraus!
Liebe Grüße
Gero
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Die Funktion
[mm]f: \ \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \, , \ \ (x,y) \mapsto \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}[/mm]
ist genügend oft differenzierbar ([mm]a,b>0[/mm] fest). Die beschriebene Ellipse ist das Urbild von 1:
[mm]\text{Ellipse} = f^{-1}(1)[/mm]
Vielleicht findest du ja in deinem Vorlesungsskript etwas über die Urbilder solcher Funktionen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:45 Di 11.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Gero!
> "Berechnen Sie den kürzesten Abstand des Punktes (0,b)
> zu der Parabel [mm] $\{(x,y) | x^2-4y=0\}$."
[/mm]
Sei $P \ ( \ 0 \ | \ b \ )$ der gegebene Punkt und $Q \ [mm] \left( \ x \ \left| \ \bruch{x^2}{4} \ \right)$ ein beliebiger Punkt der Parabel.
Dann gilt ja für den Abstand: $d(P; Q) \ = \ \wurzel{\left(x_Q-x_P\right)^2 + \left(y_Q-y_P\right)^2 \ }$
$\Rightarrow$
$d^2(P; Q) \ = \ \left(x_Q-x_P\right)^2 + \left(y_Q-y_P\right)^2$
$d^2(P; Q) \ = \ \left(x-0\right)^2 + \left(b-\bruch{x^2}{4}\right)^2$
$\red{f(x)} \ := \ d^2(P; Q) \ = \ x^2 + \left(b-\bruch{x^2}{4}\right)^2$
Für diese Funktion $f(x)_$ nun eine Extremwertberechnung durchführen (Nullstellen der 1. Ableitung etc.) ...
Gruß
Loddar
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:58 Di 11.10.2005 | | Autor: | SEcki |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> 3.) "Berechnen Sie das Volumen, dass der Zylinder Z := {(x,
> y, z) [mm]\in \IR^3| x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] < [mm]\bruch{1}{4}}[/mm] as der
> Einheitskugel [mm]B_{1}(0) \subseteq \IR^3[/mm] ausschneidet, d.h.
> berechnen Sie das Volumenvon Z [mm]\cap B_{1}(0)."[/mm]
Die Idee ist hier: man betrachtet Schnitte mit der z-Achse, dann ist es entweder ein Ball miot Radius 4 - falls der Zylinder echt vom Ball etwas wegschneidet im chnitt, oder aber der entsprechende Schnitt vom Einheitsball. Das ganze geht dann mit Fubini. am besten überlegt man sich das (mit einer Skizze) für den analogen Fall im [m]\IR^2[/m]. Dann erkennt man, dass es am besten ist, die Höhe zu berechnen, bei dem der Schnitt mit der z-Achse für beide Menegn genau das gleiche ergeben - im Zweifel kann man auch jeweils zu den abgeschlossenen Gebilden übergehen.
SEcki
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